nLab Penon open

Idea

An intrinsic notion of an open subobject in an elementary topos.

Definition

A monomorphism $U\to X$ in an elementary topos $E$ is a Penon open if the following statement holds in the internal logic of $E$:

$$\forall x\in X \forall y\in X(x\in U)\to (\neg(y=x)\vee y\in U).$$

Properties

If $U\to X$ is a Penon open, then

$$\forall x \in U(\{y\in X\mid \neg\neg(y=x)\}\subset U).$$

Related concepts

• open subspace

References

• Jacques Penon, De l’infinitésimal au local (Thèse de Doctorat d’État), Diagrammes S13 (1985), 1-191. numdam.

• Eduardo J. Dubuc, Jacques Penon, Objets compacts dans les topos, Journal of the Australian Mathematical Society. Series A. Pure Mathematics and Statistics 40:2 (1986), 203-217. doi.

• Jacques Penon, Infinitésimaux et intuitionnisme, Cahiers de topologie et géométrie différentielle 22:1 (1981), 67-72. numdam.

• Oscar P. Bruno, Logical opens of exponential objects, Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 26:3 (1985), 311-323. numdam.

• Marta C. Bunge, Felipe Gago, Ana María San Luis, Synthetic Differential Topology, Cambridge University Press, 2018. ISBN: 9781108553490, DOI.