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Toposes, Triples, and Theories

This page hosts material related to the textbook

on toposes, monads (“triples”), and universal algebra, categorical algebra and categorical semantics via sketches.


Contents

Preface

1. Categories

1 Definition of category … … … … … … … … . 1

2 Functors … … … … … … … … … ……10

3 Natural transformations … … … … … … … … 14

4 Elements and Subob jects … … … … … … … . . 17

5 The Yoneda Lemma … … … … … … … … . . 22

6 Pullbacks … … … … … … … … … … . . 25

7 Limits … … … … … … … … … … … . 30

8 Colimits … … … … … … … … … … … 40

9 Adjoint functors … … … … … … … … … . 46

10 Filtered colimits … … … … … … … … … . 57

11 Notes to Chapter I … … … … … … … … … 60

2. Toposes 62

1 Basic Ideas about Toposes … … … … … … … . 62

2 Sheaves on a Space … … … … … … … … … 65

3 Properties of Toposes … … … … … … … … . 72

4 The Beck Conditions … … … … … … … … . 77

5 Notes to Chapter 2 … … … … … … … … . . 80

3. Triples 82

1 Definition and Examples … … … … … … … . . 82

2 The Kleisli and Eilenberg-Moore Categories … … … … 87

3 Tripleability … … … … … … … … … … . 92

4 Properties of Tripleable Functors … … … … … … 103

5 Sufficient Conditions for Tripleability … … … … … . 108

6 Morphisms of Triples … … … … … … … … . 110

7 Adjoint Triples … … … … … … … … … . . 114

8 Historical Notes on Triples … … … … … … … . 120

4. Theories 122

1 Sketches … … … … … … … … … … … 123

2 The Ehresmann-Kennison Theorem … … … … … . . 127

3 Finite-Product Theories … … … … … … … … 129

4 Left Exact Theories … … … … … … … … . . 135

5 Notes on Theories … … … … … … … … … 144

5. Properties of Toposes 147

1 Tripleability of P … … … … … … … … … . 147

2 Slices of Toposes … … … … … … … … … . 149

3 Logical Functors … … … … … … … … … . 151

4 Toposes are Cartesian Closed … … … … … … . . 156

5 Exactness Properties of Toposes … … … … … … . 158

6 The Heyting Algebra Structure on Ω … … … … … . 165

6. Permanence Properties of Toposes 169

1 Topologies … … … … … … … … … … . . 169

2 Sheaves for a Topology … … … … … … … … 174

3 Sheaves form a topos … … … … … … … … . 179

4 Left exact cotriples … … … … … … … … … 181

5 Left exact triples … … … … … … … … … . 184

6 Categories in a Topos … … … … … … … … . 188

7 Grothendieck Topologies … … … … … … … . . 194

8 Giraud’s Theorem … … … … … … … … … 198

7. Representation Theorems 206

1 Freyd’s Representation Theorems … … … … … … 206

2 The Axiom of Choice … … … … … … … … . 210

3 Morphisms of Sites … … … … … … … … … 214

4 Deligne’s Theorem … … … … … … … … … 220

5 Natural Number Objects … … … … … … … . . 221

6 Countable Toposes and Separable Toposes … … … … . 229

7 Barr’s Theorem … … … … … … … … … . . 234

8 Notes to Chapter 7 … … … … … … … … . . 236

8. Cocone Theories 238

1 Regular Theories … … … … … … … … … . 238

2 Finite Sum Theories … … … … … … … … . . 241

3 Geometric Theories … … … … … … … … . . 242

4 Properties of Model Categories … … … … … … . 244

9. More on Triples 250

1 Duskin’s Tripleability Theorem … … … … … … . 250

2 Distributive Laws … … … … … … … … … 257

3 Colimits of Triple Algebras … … … … … … … . 262

4 Free Triples … … … … … … … … … … . 267

Bibliography 273

Index of exercises 278

Index

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