nLab Toposes, Triples, and Theories

This page hosts material related to the textbook

on toposes, monads (“triples”), and universal algebra, categorical algebra and categorical semantics via sketches.


See also the following, which was a review of the first edition of the book. Some, but not all, of the issues were addressed in the second edition:


Contents

Preface

1. Categories

1 Definition of category … … … … … … … … . 1

2 Functors … … … … … … … … … ……10

3 Natural transformations … … … … … … … … 14

4 Elements and Subob jects … … … … … … … . . 17

5 The Yoneda Lemma … … … … … … … … . . 22

6 Pullbacks … … … … … … … … … … . . 25

7 Limits … … … … … … … … … … … . 30

8 Colimits … … … … … … … … … … … 40

9 Adjoint functors … … … … … … … … … . 46

10 Filtered colimits … … … … … … … … … . 57

11 Notes to Chapter I … … … … … … … … … 60

2. Toposes 62

1 Basic Ideas about Toposes … … … … … … … . 62

2 Sheaves on a Space … … … … … … … … … 65

3 Properties of Toposes … … … … … … … … . 72

4 The Beck Conditions … … … … … … … … . 77

5 Notes to Chapter 2 … … … … … … … … . . 80

3. Triples 82

1 Definition and Examples … … … … … … … . . 82

2 The Kleisli and Eilenberg-Moore Categories … … … … 87

3 Tripleability … … … … … … … … … … . 92

4 Properties of Tripleable Functors … … … … … … 103

5 Sufficient Conditions for Tripleability … … … … … . 108

6 Morphisms of Triples … … … … … … … … . 110

7 Adjoint Triples … … … … … … … … … . . 114

8 Historical Notes on Triples … … … … … … … . 120

4. Theories 122

1 Sketches … … … … … … … … … … … 123

2 The Ehresmann-Kennison Theorem … … … … … . . 127

3 Finite-Product Theories … … … … … … … … 129

4 Left Exact Theories … … … … … … … … . . 135

5 Notes on Theories … … … … … … … … … 144

5. Properties of Toposes 147

1 Tripleability of P … … … … … … … … … . 147

2 Slices of Toposes … … … … … … … … … . 149

3 Logical Functors … … … … … … … … … . 151

4 Toposes are Cartesian Closed … … … … … … . . 156

5 Exactness Properties of Toposes … … … … … … . 158

6 The Heyting Algebra Structure on Ω … … … … … . 165

6. Permanence Properties of Toposes 169

1 Topologies … … … … … … … … … … . . 169

2 Sheaves for a Topology … … … … … … … … 174

3 Sheaves form a topos … … … … … … … … . 179

4 Left exact cotriples … … … … … … … … … 181

5 Left exact triples … … … … … … … … … . 184

6 Categories in a Topos … … … … … … … … . 188

7 Grothendieck Topologies … … … … … … … . . 194

8 Giraud’s Theorem … … … … … … … … … 198

7. Representation Theorems 206

1 Freyd’s Representation Theorems … … … … … … 206

2 The Axiom of Choice … … … … … … … … . 210

3 Morphisms of Sites … … … … … … … … … 214

4 Deligne’s Theorem … … … … … … … … … 220

5 Natural Number Objects … … … … … … … . . 221

6 Countable Toposes and Separable Toposes … … … … . 229

7 Barr’s Theorem … … … … … … … … … . . 234

8 Notes to Chapter 7 … … … … … … … … . . 236

8. Cocone Theories 238

1 Regular Theories … … … … … … … … … . 238

2 Finite Sum Theories … … … … … … … … . . 241

3 Geometric Theories … … … … … … … … . . 242

4 Properties of Model Categories … … … … … … . 244

9. More on Triples 250

1 Duskin’s Tripleability Theorem … … … … … … . 250

2 Distributive Laws … … … … … … … … … 257

3 Colimits of Triple Algebras … … … … … … … . 262

4 Free Triples … … … … … … … … … … . 267

Bibliography 273

Index of exercises 278

Index

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