\documentclass[12pt,titlepage]{article}

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\usepackage{color}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{xparse}
\usepackage{hyperref}

%----Macros----------
%
% Unresolved issues:
%
%  \righttoleftarrow
%  \lefttorightarrow
%
%  \color{} with HTML colorspec
%  \bgcolor
%  \array with options (without options, it's equivalent to the matrix environment)

% Of the standard HTML named colors, white, black, red, green, blue and yellow
% are predefined in the color package. Here are the rest.
\definecolor{aqua}{rgb}{0, 1.0, 1.0}
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% Because of conflicts, \space and \mathop are converted to
% \itexspace and \operatorname during preprocessing.

% itex: \space{ht}{dp}{wd}
%
% Height and baseline depth measurements are in units of tenths of an ex while
% the width is measured in tenths of an em.
\makeatletter
\newdimen\itex@wd%
\newdimen\itex@dp%
\newdimen\itex@thd%
\def\itexspace#1#2#3{\itex@wd=#3em%
\itex@wd=0.1\itex@wd%
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\itex@thd=#1ex%
\itex@thd=0.1\itex@thd%
\advance\itex@thd\the\itex@dp%
\makebox[\the\itex@wd]{\rule[-\the\itex@dp]{0cm}{\the\itex@thd}}}
\makeatother

% \tensor and \multiscript
\makeatletter
\newif\if@sup
\newtoks\@sups
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\def\reset@sup{\@supfalse\@sups={}}%
\def\mk@scripts#1#2{\if #2/ \if@sup ^{\the\@sups}\fi \else%
  \ifx #1_ \if@sup ^{\the\@sups}\reset@sup \fi {}_{#2}%
  \else \append@sup#2 \@suptrue \fi%
  \expandafter\mk@scripts\fi}
\def\tensor#1#2{\reset@sup#1\mk@scripts#2_/}
\def\multiscripts#1#2#3{\reset@sup{}\mk@scripts#1_/#2%
  \reset@sup\mk@scripts#3_/}
\makeatother

% \slash
\makeatletter
\newbox\slashbox \setbox\slashbox=\hbox{$/$}
\def\itex@pslash#1{\setbox\@tempboxa=\hbox{$#1$}
  \@tempdima=0.5\wd\slashbox \advance\@tempdima 0.5\wd\@tempboxa
  \copy\slashbox \kern-\@tempdima \box\@tempboxa}
\def\slash{\protect\itex@pslash}
\makeatother

% math-mode versions of \rlap, etc
% from Alexander Perlis, "A complement to \smash, \llap, and lap"
%   http://math.arizona.edu/~aprl/publications/mathclap/
\def\clap#1{\hbox to 0pt{\hss#1\hss}}
\def\mathllap{\mathpalette\mathllapinternal}
\def\mathrlap{\mathpalette\mathrlapinternal}
\def\mathclap{\mathpalette\mathclapinternal}
\def\mathllapinternal#1#2{\llap{$\mathsurround=0pt#1{#2}$}}
\def\mathrlapinternal#1#2{\rlap{$\mathsurround=0pt#1{#2}$}}
\def\mathclapinternal#1#2{\clap{$\mathsurround=0pt#1{#2}$}}

% Renames \sqrt as \oldsqrt and redefine root to result in \sqrt[#1]{#2}
\let\oldroot\root
\def\root#1#2{\oldroot #1 \of{#2}}
\renewcommand{\sqrt}[2][]{\oldroot #1 \of{#2}}

% Manually declare the txfonts symbolsC font
\DeclareSymbolFont{symbolsC}{U}{txsyc}{m}{n}
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\DeclareFontSubstitution{U}{txsyc}{m}{n}

% Manually declare the stmaryrd font
\DeclareSymbolFont{stmry}{U}{stmry}{m}{n}
\SetSymbolFont{stmry}{bold}{U}{stmry}{b}{n}

% Manually declare the MnSymbolE font
\DeclareFontFamily{OMX}{MnSymbolE}{}
\DeclareSymbolFont{mnomx}{OMX}{MnSymbolE}{m}{n}
\SetSymbolFont{mnomx}{bold}{OMX}{MnSymbolE}{b}{n}
\DeclareFontShape{OMX}{MnSymbolE}{m}{n}{
    <-6>  MnSymbolE5
   <6-7>  MnSymbolE6
   <7-8>  MnSymbolE7
   <8-9>  MnSymbolE8
   <9-10> MnSymbolE9
  <10-12> MnSymbolE10
  <12->   MnSymbolE12}{}

% Declare specific arrows from txfonts without loading the full package
\makeatletter
\def\re@DeclareMathSymbol#1#2#3#4{%
    \let#1=\undefined
    \DeclareMathSymbol{#1}{#2}{#3}{#4}}
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\re@DeclareMathSymbol{\seArr}{\mathrel}{symbolsC}{117}
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\re@DeclareMathSymbol{\nwArr}{\mathrel}{symbolsC}{118}
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\re@DeclareMathSymbol{\parr}{\mathrel}{symbolsC}{77}
\makeatother

% \llangle, \rrangle, \lmoustache and \rmoustache from MnSymbolE
\makeatletter
\def\Decl@Mn@Delim#1#2#3#4{%
  \if\relax\noexpand#1%
    \let#1\undefined
  \fi
  \DeclareMathDelimiter{#1}{#2}{#3}{#4}{#3}{#4}}
\def\Decl@Mn@Open#1#2#3{\Decl@Mn@Delim{#1}{\mathopen}{#2}{#3}}
\def\Decl@Mn@Close#1#2#3{\Decl@Mn@Delim{#1}{\mathclose}{#2}{#3}}
\Decl@Mn@Open{\llangle}{mnomx}{'164}
\Decl@Mn@Close{\rrangle}{mnomx}{'171}
\Decl@Mn@Open{\lmoustache}{mnomx}{'245}
\Decl@Mn@Close{\rmoustache}{mnomx}{'244}
\makeatother

% Widecheck
\makeatletter
\DeclareRobustCommand\widecheck[1]{{\mathpalette\@widecheck{#1}}}
\def\@widecheck#1#2{%
    \setbox\z@\hbox{\m@th$#1#2$}%
    \setbox\tw@\hbox{\m@th$#1%
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          \vrule\@width\z@\@height\ht\z@
          \vrule\@height\z@\@width\wd\z@}$}%
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    \@tempdima\ht\z@ \advance\@tempdima2\ht\tw@ \divide\@tempdima\thr@@
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       \raise\@tempdima\hbox{\scalebox{1}[-1]{\lower\@tempdima\box
\tw@}}}%
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\makeatother

% \mathraisebox{voffset}[height][depth]{something}
\makeatletter
\NewDocumentCommand\mathraisebox{moom}{%
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}{\def\@temp##1##2{\raisebox{#1}[#2][#3]{$\m@th##1##2$}}}}%
\mathpalette\@temp{#4}}
\makeatletter

% udots (taken from yhmath)
\makeatletter
\def\udots{\mathinner{\mkern2mu\raise\p@\hbox{.}
\mkern2mu\raise4\p@\hbox{.}\mkern1mu
\raise7\p@\vbox{\kern7\p@\hbox{.}}\mkern1mu}}
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%% Fix array
\newcommand{\itexarray}[1]{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
%% \itexnum is a noop
\newcommand{\itexnum}[1]{#1}

%% Renaming existing commands
\newcommand{\underoverset}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{#3}}}
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\newcommand{\product}{\prod}
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\newcommand{\tooltip}[2]{#2}
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% Theorem Environments
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\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
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\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remark}{Remark}
\newtheorem{note}{Note}
\newtheorem*{uremark}{Remark}
\newtheorem*{unote}{Note}

%-------------------------------------------------------------------

\begin{document}

%-------------------------------------------------------------------


\section*{Topologie}

\begin{quote}%
this page is the German language version of (parts of) the page \emph{[[topology]]}


\end{quote}

\vspace{.5em} \hrule \vspace{.5em}
\hypertarget{context}{}\subsubsection*{{Context}}\label{context}

\hypertarget{topologie}{}\paragraph*{{Topologie}}\label{topologie}

[[!include topology - contents]]

Diese Seite behandelt \emph{Topologie} als \textbf{Untergebiet der [[mathematics|Mathematik]]}. Zu ``Topologie'' im Sinne von \textbf{[[structured set|Struktur]]} auf einer [[set|Menge]], siehe \emph{[[topological space|topologischer Raum]]}.


\vspace{.5em} \hrule \vspace{.5em}
$\,$

$\,$

$\,$

\hypertarget{inhalt}{}\section*{{Inhalt}}\label{inhalt}

\noindent\hyperlink{Introduction}{Einf\"u{}hrung}\dotfill \pageref*{Introduction} \linebreak
\noindent\hyperlink{Continuity}{Stetigkeit}\dotfill \pageref*{Continuity} \linebreak
\noindent\hyperlink{TopologicalSpaces}{Topologische R\"a{}ume}\dotfill \pageref*{TopologicalSpaces} \linebreak
\noindent\hyperlink{Homeomorphisms}{Homeomorphismen}\dotfill \pageref*{Homeomorphisms} \linebreak
\noindent\hyperlink{Homotopy}{Homotopie}\dotfill \pageref*{Homotopy} \linebreak
\noindent\hyperlink{ConnectedComponents}{Zusammenhangskomponenten}\dotfill \pageref*{ConnectedComponents} \linebreak
\noindent\hyperlink{FundamentalGroups}{Fundamentalgruppe}\dotfill \pageref*{FundamentalGroups} \linebreak
\noindent\hyperlink{CoveringSpaces}{\"U{}berlagerungsraum}\dotfill \pageref*{CoveringSpaces} \linebreak
\noindent\hyperlink{literatur}{Literatur}\dotfill \pageref*{literatur} \linebreak


\hypertarget{Introduction}{}\subsection*{{Einf\"u{}hrung}}\label{Introduction}

Im Folgenden geben wir eine kurze Einf\"u{}hrung zu den zentralen Konzepten und Werkzeugen der Topologie.

\begin{itemize}%
\item \emph{\hyperlink{Continuity}{Stetigkeit}}


\item \emph{\hyperlink{TopologicalSpaces}{Topologische R\"a{}ume}}


\item \emph{\hyperlink{Homeomorphisms}{Homeomorphismen}}


\item \emph{\hyperlink{Homotopy}{Homotopie}}


\item \emph{\hyperlink{ConnectedComponents}{Zusammenhangskomponenten}}


\item \emph{\hyperlink{FundamentalGroups}{Fundamentalgruppe}}


\item \emph{\hyperlink{CoveringSpaces}{\"U{}berlagerungsr\"a{}ume}}



\end{itemize}
\hypertarget{Continuity}{}\subsubsection*{{Stetigkeit}}\label{Continuity}

Die zentrale Idee der Topologie ist es, [[spaces|Räume]] mit ``[[continuous maps|stetigen Abbildungen]]'' zwischen ihnen zu betrachten.

Historisch wurde das Konzept der Stetigkeit zuerst in der [[analysis|Analysis]] pr\"a{}zise gemacht, durch ``[[epsilontic analysis|epsilontische Analysis]]'' von [[open balls|offenen Bällen]], an diese wird unten in def. \ref{EpsilonDeltaDefinitionOfContinuity} erinnert. Dann realisierte man dass dies eine elegantere Formulierung durch den Begriffe der \emph{[[open sets|offenen Mengen]]} hat, dies ist unten Prop. \ref{ContinuityBetweenMetricSpacesInTermsOfOpenSets}. Der Begriff des \emph{[[topological spaces|topologischen Raumes]]} ergibt sich wenn man von diesem allgemeinen Begriff der offenen Mengen ausgeht, dies ist Def. \ref{TopologicalSpace} unten.

Sei daher zun\"a{}chst an folgende elementare Begriffe der [[analysis|Analysis]] erinnert:

\begin{defn}
\label{MetricSpace}\hypertarget{MetricSpace}{}
Ein \emph{[[metric space|metrischer Raum]]} ist

\begin{enumerate}%
\item eine [[set|Menge]] $X$ (die ``zugrunde liegende Menge'');


\item eine [[function|Funktion]] $d \;\colon\; X \times X \to [0,\infty)$ (die ``Distanzfunktion'') aus dem [[Cartesian product|kartesischen Produkt]] der Menge mit sich selbst in die [[nonnegative number|nicht-negativen]] [[real number|reellen Zahlen]]



\end{enumerate}
so dass f\"u{}r alle $x,y,z \in X$ gilt:

\begin{enumerate}%
\item $d(x,y) = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; x = y$


\item (Symmetrie) $d(x,y) = d(y,x)$


\item ([[triangle inequality|Dreiecksungleichung]]) $d(x,y)+ d(y,z) \geq d(x,z)$.



\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{example}
\label{}\hypertarget{}{}
Jeder [[normed vector space|normierte Vektorraum]] $(V, {\Vert -\Vert})$ wird ein [[metric space|metrischer Raum]] im Sinne von Definition \ref{MetricSpace} indem man setzt:

\begin{displaymath}
d(x,y) \coloneqq {\Vert x-y\Vert}
  \,.
\end{displaymath}
\end{example}
\begin{defn}
\label{OpenBalls}\hypertarget{OpenBalls}{}
Sei $(X,d)$, ein [[metric space|metrischer Raum]]. Dann heisst f\"u{}r jedes Element $x \in X$ und jede [[positive number|positive]] [[real number|reelle Zahl]] $\epsilon \in \mathbb{R}_+$ die Menge

\begin{displaymath}
B^\circ_x(\epsilon)
    \;\coloneqq\;
  \left\{
    y \in X \;\vert\; d(x,y) \lt \epsilon
  \right\}
\end{displaymath}
der \emph{[[open ball|offene Ball]] von [[radius|Radius]] $\epsilon$ um $x$}.

\end{defn}
\begin{defn}
\label{EpsilonDeltaDefinitionOfContinuity}\hypertarget{EpsilonDeltaDefinitionOfContinuity}{}
\textbf{(epsilontische Definition von Stetigkeit)}

Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ zwei [[metric spaces|metrische Räume]] (def. \ref{MetricSpace}), dann heisst eine [[function|Funktion]]

\begin{displaymath}
f \;\colon\; X \longrightarrow Y
\end{displaymath}
\emph{stetig am Punkt $x \in X$} wenn f\"u{}r jedes $\epsilon \gt 0$ ein $\delta\gt 0$ existiert, so dass

\begin{displaymath}
d_X(x,y) \lt \delta \;\;\Rightarrow\;\; d_Y(f(x), f(y)) \lt \epsilon
\end{displaymath}
oder \"a{}quivalent dazu, so dass

\begin{displaymath}
f(\;B_x^\circ(\delta)\;) \;\subset\; B^\circ_{f(x)}(\epsilon)
\end{displaymath}
wobei $B^\circ$ den [[open ball|offenen Ball]] bezeichnet (Definition \ref{OpenBalls}).

Die Funktion $f$ heisst \emph{stetig} wenn sie an jedem Punkt $x \in X$ stetig ist.

\end{defn}
Wir formulieren diese analytische Begriffsbildung nun um, durch den einfachen aber wichtigen Begriff der [[open set|offenen Menge]]:

\begin{defn}
\label{OpenSubsetsOfAMetricSpace}\hypertarget{OpenSubsetsOfAMetricSpace}{}
\textbf{(Umgebung und offene Menge)}

Sei $(X,d)$ ein [[metric space|metrischer Raum]] (def. \ref{MetricSpace}). Dann sagt man

\begin{enumerate}%
\item Eine \emph{[[neighbourhood|Umgebung]]} eines Punktes $x \in X$ ist eine [[subset|Untermenge]] $x \in U \subset X$, welche mindestens einen [[open ball|offen Ball]] $B_x^\circ(\epsilon)$ um $x$ enth\"a{}lt (def. \ref{OpenBalls}).


\item Eine \emph{[[open subset|offene Menge]]} von $X$ ist eine [[subset|Untermenge]] $U \subset X$ die f\"u{}r jedes $x \in U$ auch noch eine [[neighbourhood|Umgebung]] von $x$ enth\"a{}lt.



\end{enumerate}
\end{defn}
Das folgende Bild zeigt einen Punkt $x$, einige [[open balls|offene Bälle]] $B_i$ die $x$ enthalten, und zwei seiner [[neighbourhoods|Umgebungen]] $U_i$:



\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{Munkres75}{Munkres 75}


\end{quote}
\begin{prop}
\label{ContinuityBetweenMetricSpacesInTermsOfOpenSets}\hypertarget{ContinuityBetweenMetricSpacesInTermsOfOpenSets}{}
\textbf{(Stetigkeit durch offene Mengen ausgedr\"u{}ckt)}

Eine [[function|Funktion]] $f \colon X \to Y$ zwischen [[metric spaces|metrischen Räumen]] (def. \ref{MetricSpace}) ist stetig in dem [[epsilontic analysis|epsilontischen]] Sinne von def. \ref{EpsilonDeltaDefinitionOfContinuity} genau dann wenn sie die Eigenschaft hat dass:

\begin{itemize}%
\item ihre [[pre-images|Urbilder]] von [[open subsets|offenen Mengen]] in $Y$ (im Sinne von def. \ref{OpenSubsetsOfAMetricSpace}) sind auch offene Mengen von $X$.

\end{itemize}
\end{prop}
\begin{uremark}
$\,$ $\,$ \emph{Urbilder offener Mengen sind offen.}

\end{uremark}
$\,$

\hypertarget{TopologicalSpaces}{}\subsubsection*{{Topologische R\"a{}ume}}\label{TopologicalSpaces}

Daher sollten wir uns also gut das Konzept von [[open subset|offenen Mengen]] ansehen. Es stellt sich heraus dass die folgende Abschlusseigenschaft das Konzept von offenen Mengen bereits sinnvoll \emph{charakterisiert}.

\begin{prop}
\label{}\hypertarget{}{}
\textbf{(Abschlusseigenschaft offener Mengen eines metrischen Raumes)}

Die Menge aller [[open subsets|offenen Mengen]] eines [[metric space|metrischen Raumes]] $(X,d)$ wie in def. \ref{OpenSubsetsOfAMetricSpace} hat die folgenden Eigenschaften:

\begin{enumerate}%
\item Der [[intersection|Durchschnitt]] einer [[finite number|endlichen Zahl]] von offenen Mengen ist wieder eine offene Menge.


\item Die [[union|Vereinigung]] einer beliebigen [[set|Menge]] von offenen Mengen ist wieder eine offene Menge.



\end{enumerate}
Insbesondere

\begin{itemize}%
\item die [[empty set|leere Menge]] ist offen (als die Vereinigung keiner Untermenge)

\end{itemize}
und

\begin{itemize}%
\item die ganze Menge $X$ selbst ist offen (als Durchschnitt keiner Untermenge).

\end{itemize}
\end{prop}
Dies motiviert die folgende allgemeinere Definition:

\begin{defn}
\label{TopologicalSpace}\hypertarget{TopologicalSpace}{}
\textbf{(topologische R\"a{}ume)}

Gegeben eine [[set|Menge]] $X$, dann ist eine \emph{Topologie} $\tau$ auf $X$ eine Menge von [[subsets|Untermengen]] von $X$ -- die dann \emph{[[open subsets|offene Mengen]]} genannt werden -- also eine [[subset|Untermenge]] der [[power set|Potenzmenge]]

\begin{displaymath}
\tau \subset P(X)
\end{displaymath}
so dass diese unter folgenden Operatione abgeschlossen ist:

\begin{enumerate}%
\item endliche [[intersections|Durchschnitte]];


\item beliebige [[unions|Vereinigungen]].



\end{enumerate}
Ein \emph{[[topological space|topologischer Raum]]} ist eine Menge $X$ ausgestattet mit einer solchen [[topology|Toplogie]].

\end{defn}
Die folgende Illustration zeigt alle Topologien auf der 3-Element Menge (bis auf Permutation der Elemente):



\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{Munkres75}{Munkres 75}


\end{quote}
Jetzt ist klar wie das Stetigkeitprinzip formalisiert wird.

\begin{uremark}
$\,$ $\,$ \emph{Urbilder offener Mengen sind offen.}

\end{uremark}
\begin{defn}
\label{ContinuousMaps}\hypertarget{ContinuousMaps}{}
\textbf{(stetige Abbildungen)}

Eine \emph{[[continuous function|stetige Abbildung]]} zwischen [[topological spaces|topologsichen Räumen]]

\begin{displaymath}
f \colon (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)
\end{displaymath}
ist eine [[function|Funktion]] zwischen den unterliegenden Mengen,

\begin{displaymath}
f \colon X \longrightarrow Y
\end{displaymath}
so dass [[pre-images|Urbilder]] unter $f$ von offenen Mengen in $Y$ wieder offene Mengen in $X$ sind.

\end{defn}
Diese einfach Definition von [[open subsets|offenen Untermengen]] und das einfache \emph{Stetigkeitprinzip} geben der Topologie ihr fundamentales und universelles Gepr\"a{}ge. Die kombinatoischen Natur dieser Definition macht dass Topologie enge Bez\"u{}ge zur [[formal logic|formalen Logik]] hat (mehr dazu siehe \emph{[[locale]]}).

\begin{remark}
\label{}\hypertarget{}{}
\textbf{(die Kategorie der topologischen R\"a{}ume)}

Die [[composition|Komposition]] von [[continuous functions|stetigen Abbildungen]] ist offensichtlich [[associativity|assoziativ]] und [[unitality|unital]].

Man sagt dass

\begin{enumerate}%
\item [[topological spaces|topologische Räume]] sind die [[objects|Objekte]]


\item [[continuous maps|stetige Abbildungen]] sind die [[morphisms|Morphismen]] ([[homomorphisms|Homomorphismen]])



\end{enumerate}
einer \emph{[[category|Kategorie]]}. Die \emph{[[category of topological spaces|Kategorie der topologischen Räume]]} (kurz: \emph{[[Top]]} ).

Es ist n\"u{}tzliche eine Ansammlung von [[objects|Objekten]] mit [[morphisms|Morphismen]] dazwischen durch [[diagrams|Diagramme]] darzustellen, wie dieses:



\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{category+theory#LawvereSchanuel09}{Lawvere-Schanuel 09}.


\end{quote}
\end{remark}
Unser motivierendes Beispiel ist also folgendes

\begin{example}
\label{MetricTopology}\hypertarget{MetricTopology}{}
\textbf{(metrische Topologie)}

Sei $(X,d)$ ein [[metric space|metrischer Raum]]. Dann ist seine Menge von offenen Mengen im Sinne von def. \ref{OpenSubsetsOfAMetricSpace} eine \emph{[[topological space|Topologie]]} auf $X$, macht also $X$ zu einem \emph{[[topological space|topologischen Raum]]} im Sinne von def. \ref{TopologicalSpace}. Dies wird die \emph{[[metric topology|metrische topologie]]} genannt.

Kurz gesagt, die [[open balls|offenen Bälle]] in einem metrischen Raum sind die ``[[basis of a topology|Basis]]'' f\"u{}r die [[metric topology|metrische Topologie]].

\end{example}
Ein wichtiger Punkt der allgemeinen Definition von ``[[topological space|topologischem Raum]]'' ist dass sie Konstruktionen zul\"a{}sst die intuitiv auf ``stetigen R\"a{}umen'' existieren sollten, aber dies sonst, zum Beispiel in metrischen R\"a{}umen, nicht tun:

\begin{example}
\label{DiscreteTopologicalSpace}\hypertarget{DiscreteTopologicalSpace}{}
\textbf{(diskrete topologische R\"a{}ume)}

Sei $S$ eine [[set|Menge]], dann betrachtet die \emph{[[discrete topology|diskrete Topologie]]} auf $S$ \emph{jede} Untermenge von $S$ als [[open subset|offene Untermenge]].

\end{example}
\begin{example}
\label{SubspaceTopology}\hypertarget{SubspaceTopology}{}
\textbf{(Unterraum Topologie)}

Sei $(X, \tau_X)$ ein [[topological space|topologischer Raum]], und sei $X_0 \hookrightarrow X$ eine [[subset|Untermenge]] der zugrunde liegenden Menge. Die zugeh\"o{}rige \emph{[[topological subspace|Unterraumtopologie]]} hat dann

\begin{itemize}%
\item $X_0$ als ihre zugunde liegende Menge,


\item die offenen Untermengen sind die Untermengen von $X_0$, welche Einschr\"a{}nkungen von offenen Untermengen in $X$ sind.



\end{itemize}
(Dies wird auch die \emph{[[initial topology|initiale Topologie]]} der Injektionsabbildung genannt.)

Die Illustration rechts zeigt zwei offene Untermengen in dem [[square|Quadrat]], betrachtet als [[topological subspace|topologischer Unterraum]] der [[plane|Ebene]] $\mathbb{R}^2$:

\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{Munkres75}{Munkres 75}


\end{quote}
\end{example}
\begin{example}
\label{QuotientTopologicalSpace}\hypertarget{QuotientTopologicalSpace}{}
\textbf{(topologischer Quotientenraum)}

Sei $(X,\tau_X)$ ein [[topological space|topologischer Raum]] (def. \ref{TopologicalSpace}) und sei

\begin{displaymath}
R_\sim \subset X \times X
\end{displaymath}
eine [[equivalence relation|Äquivalenzrelation]] auf der zugrunde liegenden Menge. Dann hat der \emph{[[quotient topological space|topologische Quotientenraum]]}

\begin{itemize}%
\item als zugrunde liegende Menge die [[quotient set|quotientenmenge]] $X_{\sim}$, also die Menge von [[equivalence classes|Äquivalenzklassen]],

\end{itemize}
und

\begin{itemize}%
\item eine Untermenge $O \subset X_{\sim}$ wird als [[open subset|offene Untermenge]] betrachtet genau dann wenn ihr [[preimage|Urbild]] $\pi^{-1}(O)$ under der kanonischen [[projection map|Projektionsabbildung]]

\begin{displaymath}
\pi \colon X \to X_\sim
\end{displaymath}
eine offene Untermenge von $X$ ist.



\end{itemize}
(Dies wird auch die \emph{[[final topology|finale Topologie]]} der Projektion $\pi$ genannt.)

\end{example}


Die obige Illustration zeigt links das [[square|Quadrat]] (ein [[topological subspace|topologischer Unterraum]] der [[plane|Ebene]]), dann in der Mitte den resultierenden [[quotient topological space|topologischen Quotientenraum]] erhalten durch Identifizierung zweier gegen\"u{}berliegender eiten (der \emph{[[cylinder|Zylinder]]}), und rechts den weiteren Quotientenraum erhalten durch identifizierung auch der verbleibenden beiden Seiten (der \emph{[[torus|Torus]]}).

\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{Munkres75}{Munkres 75}


\end{quote}
\begin{example}
\label{ProductTopologicalSpace}\hypertarget{ProductTopologicalSpace}{}
\textbf{(topologischer Produktraum)}

Seien $X$ und $Y$ zwei [[topological spaces|topologische Räume]], dann hat der [[product topological space|topologische Produktraum]] $X \times Y$

\begin{itemize}%
\item als zugrunde liegende Menge das [[Cartesian product|kartesische Produkt]] der unterliegenden Mengen $X$ and $Y$,

\end{itemize}
und

\begin{itemize}%
\item seine [[open sets|offenen Mengen]] sind die Untermengen $O \subset X \times Y$ des kartesischen Produktes f\"u{}r die gilt dass f\"u{}r alle Punkte $(x,y) \in O$ offene Mengen $x \in O_x \subset X$ und $y \in O_Y \subset Y$ existieren, so dass $O_x \times O_y \subset O$.

\end{itemize}
\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{Munkres75}{Munkres 75}


\end{quote}
\end{example}
Diese Konstruktionen von[[discrete topological spaces|disketen topologischen Räumen]], [[quotient topological spaces|topologischen Quotientenräumen]], [[topological subspaces|topologischen Unterräumen]] und von [[product topological spaces|topologischen Produkträumen]] snd einfache Beispiele f\"u{}r \textbf{[[limits|Limiten]]} und \textbf{[[colimits|Kolimiten]]} von topologischen R\"a{}umen. Die [[category|Kategorie]] [[Top]] von topologischen R\"a{}umen hat die n\"u{}tzliche Eigenschaft dass \emph{alle} [[limits|Limiten]] und [[colimits|Kolimiten]] (\"u{}ber [[small diagrams|kleine Diagramme]]) in ihr existieren (mehr dazu siehe \emph{\href{Top#UniversalConstructions}{Top -- Universelle Konstruktionen}}.)

\hypertarget{Homeomorphisms}{}\subsubsection*{{Homeomorphismen}}\label{Homeomorphisms}

Mit den [[objects|Objekten]] ([[topological spaces|topologischen Räumen]]) und den [[morphisms|Morphismen]] ([[continuous maps|stetige Abbildungen]]) der [[category|Kategorie]] [[Top]] der Topologie also definiert, erhalten wir den Begriff der ``Gleichheit'' in der Topologie.

Um dies pr\"a{}zise zu machen sagt man dass ein [[morphism|Morphismus]]

\begin{displaymath}
X \overset{f}{\to} Y
\end{displaymath}
in einer [[category|Kategorie]] ein \emph{[[isomorphism|Isomorphismus]]} ist wenn ein weiterer Morphismus in die andere Richtung existiert

\begin{displaymath}
X \overset{f^{-1}}{\longleftarrow} Y 
  \,,
\end{displaymath}
welcher [[inverse|invers]] zu $f$ ist in dem Sinne dass

\begin{displaymath}
f \circ f^{-1} = id_Y \;\;\;\;\; and \;\;\;\;\; f^{-1} \circ f = id_X
  \,.
\end{displaymath}
\begin{defn}
\label{Homeomorphism}\hypertarget{Homeomorphism}{}
\textbf{(Homeomorphismen)}

Ein [[isomorphism|Isomorphismus]] in der [[category|Kategorie]] [[Top]] von [[topological spaces|topologischen Räumen]] mit [[continuous functions|stetigen Abbildungen]] zwischen ihnen heisst \emph{[[homeomorphism|Homeomorphismus]]}.

Das ist also eine [[continuous function|stetige Abbildung]]

\begin{displaymath}
f \;\colon\; X \longrightarrow Y
\end{displaymath}
so dass ein dazu [[inverse|inverser]] [[morphism|Morphismus]] existiert, n\"a{}mich eine [[continuous function|stetige Funktion]] in der anderen Richtung

\begin{displaymath}
X \longleftarrow Y \;\colon\; f^{-1}
\end{displaymath}
so dass

\begin{displaymath}
f \circ f^{-1} = id_{Y} \;\;\;and\;\;\; f^{-1} \circ f = id_{X}
  \,.
\end{displaymath}
\end{defn}


\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{Munkres75}{Munkres 75}


\end{quote}
\begin{example}
\label{OpenBallsHomeomorphicToRn}\hypertarget{OpenBallsHomeomorphicToRn}{}
\textbf{(offenes Intervall hom\"o{}omorph zur reellen Geraden)}

Das offene [[interval|Intervall]] $(-1,1)$ ist [[homeomorphic|homöomorph]] zu der gesamten [[real line|reellen Geraden]]

\begin{displaymath}
(0,1) \underset{homeo}{\simeq} \mathbb{R}^1
  \,.
\end{displaymath}
Ein [[inverse|inverses]] Paar von [[continuous functions|stetigen Funktionen]] ist zum Beispiel gegeben durch

\begin{displaymath}
\itexarray{
    f &\colon&  \mathbb{R}^1 &\longrightarrow& (-1,+1)
    \\
    && x &\mapsto& \frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}
  }
\end{displaymath}
and

\begin{displaymath}
\itexarray{
    f^{-1} &\colon&  (-1,+1) &\longrightarrow& \mathbb{R}^1
    \\
    && x &\mapsto& \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
  }
  \,.
\end{displaymath}
Allgemein ist jeder [[open ball|offene Ball]] in $\mathbb{R}^n$ (def. \ref{OpenBalls}) [[homeomorphic|homöomorph]] zum ganzen $\mathbb{R}^n$.

\end{example}
\begin{example}
\label{HomeomorphismBetweenTopologicalAndCombinatorialCircle}\hypertarget{HomeomorphismBetweenTopologicalAndCombinatorialCircle}{}
\textbf{(Intervall an den Endpunkten verklebt ist hom\"o{}omorph zum Kreis)}

Als topologische R\"a{}ume ist das [[interval|Intervall]] mit identifizierten Endpunkten [[homeomorphic|homöomorph]] (def. \ref{Homeomorphism}) zum [[circle|Einheitskreis]]:

\begin{displaymath}
[0,1]_{/(0 \sim 1)} \;\; \underset{homeo}{\simeq} \;\; S^1
  \,.
\end{displaymath}
Mehr im Detail: Sei

\begin{displaymath}
S^1 \hookrightarrow \mathbb{R}^2
\end{displaymath}
der [[circle|Einheitskreis]] in der [[plane|Ebene]]

\begin{displaymath}
S^1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 = 1\}
\end{displaymath}
ausgestattet mit der [[subspace topology|Unterraumtopologie]] (Beispiel \ref{SubspaceTopology}) der Ebene $\mathbb{R}^2$, welche selbst mit ihrer standard [[metric topology|metrischen Topologie]] (Beispiel \ref{MetricTopology}) ausgestattet ist.

Dar\"u{}berhinaus, sei

\begin{displaymath}
[0,1]_{/(0 \sim 1)}
\end{displaymath}
der [[quotient topological space|topologische Quotientenraum]] (Beispiel \ref{QuotientTopologicalSpace}) der aus dem [[interval|Intervall]] $[0,1] \subset \mathbb{R}^1$ mit seine [[subspace topology|Unterraumtopologie]] erhalten wird durch Anwendung der [[equivalence relation|Äquivalenzrelation]], welche die beiden Endpunkte identifiziert (und sonst nichts).

Betrachte dann die Funktion

\begin{displaymath}
f \;\colon\; [0,1] \longrightarrow S^1
\end{displaymath}
gegeben durch

\begin{displaymath}
t \mapsto (cos(t), sin(t))
  \,.
\end{displaymath}
Diese hat die Eigenschaft dass $f(0) = f(1)$, so dass die also absteigt zu einer Funktion auf dem [[quotient topological space|topologischen Quotientenraum]]

\begin{displaymath}
\itexarray{
    [0,1] &\overset{}{\longrightarrow}& [0,1]_{/(0 \sim 1)}
    \\
    & {}_{\mathllap{f}}\searrow & \downarrow^{\mathrlap{\tilde f}}
    \\
    && S^1
  }
  \,.
\end{displaymath}
Wir behaupten dann $\tilde f$ ein [[homeomorphism|Homöomorphismus]] ist (Definition \ref{Homeomorphism}).

Zun\"a{}chst ist es klar dass $\tilde f$ eine [[continuous function|stetige Funktion]] ist. Das folgt direkt aus der tatsache dass $f$ eine [[continuous function|stetige Funktion]] ist und per Definition der [[quotient topology|Quotiententopologie]] (Beispiel \ref{QuotientTopologicalSpace}).

Wir m\"u{}ssen also pr\"u{}fen dass $\tilde f$ eine stetige inverse Funtion hat. Offensichtlich hat die Einschr\"a{}nkung von $f$ selbst auf das offene Intervall $(0,1)$ ein stetiges Inverses. Es hat kein stetiges Inverses auf $[0,1)$ und auf $(0,1]$ und hat \"u{}berhaupt kein Inverses auf 0,1, weil $f(0) = f(1)$. Aber die Relation $[0,1]_{/(0 \sim 1)}$ hat genau die Eigenschaft dass sie diese Probleme herausteilt.

\end{example}
Analog gilt:

Das [[square|Quadrat]] $[0,1]^2$ mit zwei seiner Seiten identifiziert ist der [[cylinder|Zylinder]], und mit zwei weiteren Seiten identifiziert der [[torus|Torus]]:



Wenn die Seiten hingegen mit umgekehrter Orientierung identifiziert werden, dann ist das Resultat das \emph{[[Möbius strip|Möbiusband]]}:



\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{Lawson03}{Lawson 03}


\end{quote}
$\,$

Wichtige Beispiele von topologischen R\"a{}umen die \emph{nicht} hom\"o{}omorph sind, enthalten die folgenden:

\begin{theorem}
\label{TopologicalInvarianceOfDimension}\hypertarget{TopologicalInvarianceOfDimension}{}
\textbf{([[topological invariance of dimension|topologische Invarianz der Dimension]])}

Seien $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ aber $n_1 \neq n_2$, dann sind die [[Cartesian space|kartesischen Räume]] $\mathbb{R}^{n_1}$ und $\mathbb{R}^{n_2}$ \emph{nicht} [[homeomorphic|homöomorph]].

Allgemeiner, eine [[open set|offene Menge]] in $\mathbb{R}^{n_1}$ ist nie hom\"o{}omorph zu einer offenen Menge in $\mathbb{R}^{n_2}$ wenn $n_1 \neq n_2$.

\end{theorem}
Der beweis des Theorems \ref{TopologicalInvarianceOfDimension} ist \"u{}berraschend anspruchsvoll, angesichts wie offensichtlich die Aussage intuitiv erscheint. Man ben\"o{}tigt Werkzeuge der \emph{[[algebraic topology|algebraischen Topologie]]} (insbesondere [[Brouwer's fixed point theorem|den Fixpunktsatz von Brouwer]]).

Wir illustrieren nun die Werkzeuge der [[algebraic topology|algebraischen Topologie]] und demonstrieren die Natur ihrer Anwednung durch den Beweis zweier sehr einfacher Spezialf\"a{}lle der [[topological invariance of dimension|topologischen Invarianz der Dimension]] (prop. \ref{TopologicalInvarianceOfDimensionFirstSimpleCase} und prop. \ref{topologicalInvarianceOfDimensionSecondSimpleCase} unten).

\begin{example}
\label{}\hypertarget{}{}
\textbf{(Homeomorphismusklassen von Fl\"a{}chen)}

Die [[2-sphere]] $S^2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$ ist \emph{nicht} [[homeomorphic|homöomorph]] zu dem [[torus|Torus]] $T^2 = S^1 \times S^1$.

Allgemein ist die Homeomorphismusklasse einer [[closed manifold|geschlossenen]] [[orientable|orientierbaren]] [[surface|Fläche]] durch die Anzahl der ``L\"o{}cher'' determiniert die die Fl\"a{}che hat: ihr \emph{[[genus of a surface|Geschlecht]]}.

\end{example}
$\,$

\hypertarget{Homotopy}{}\subsubsection*{{Homotopie}}\label{Homotopy}

Wir haben oben gesehen dass f\"u{}r $n \geq 1$ der [[open ball|offene Ball]] $B_0^\circ(1)$ in $\mathbb{R}^n$ \emph{nicht} [[homeomorphic|homöomorph]] zu, insbesondere, dem Punkt $\ast = \mathbb{R}^0$ ist (Beispiel \ref{OpenBallsHomeomorphicToRn}, Theorem \ref{TopologicalInvarianceOfDimension}). Dennoch ist intuitiv der $n$-Ball eine ``stetige Deformierung'' des Punktes, den man erh\"a{}lt wenn der Radius des $n$-Balles nach null geht.

Diese Intuition wird durch die Beobachtung pr\"a{}zisiert dass ein [[continuous function|stetige Funktion]] existiert auf dem [[product topological space|topologischen Produktraum]] (Beispiel \ref{ProductTopologicalSpace}) des offenen Balles mit dem geschlossenen [[interval|Intervall]]

\begin{displaymath}
\eta \colon [0,1] \times B_0^\circ(1)  \longrightarrow \mathbb{R}^n
\end{displaymath}
gegeben durch Reskalierung:

\begin{displaymath}
(t,x) \mapsto t \cdot x
  \,.
\end{displaymath}
Dies interpoliert stetig zwischen dem offenen Ball und dem Punkt, in dem Sinne dass f\"u{}r $t = 1$ die Abbildung sich auf die definierende Einbettung einschr\"a{}nkt $B_0^\circ(1)$, w\"a{}hrende sie f\"u{}r $t = 0$ konstant ist.

Wir k\"o{}nnen diese Siutation zusammenfassen durch ein [[diagram|Diagramm]] von [[continuous function|stetigen Abbildungen]] der folgenden Form:

\begin{displaymath}
\itexarray{
    B_0^\circ(1) \times \{0\}
    \\
    \downarrow & \searrow^{\mathrlap{x \mapsto 0}}
    \\
    [0,1] \times B_0^\circ(1)
    &\overset{(t,x) \mapsto t \cdot x}{\longrightarrow}&
    \mathbb{R}^n
    \\
    \uparrow & \nearrow_{\mathrlap{inclusion}}
    \\
    B_0^\circ(1) \times \{1\}
  }
\end{displaymath}
Solche ``stetigen Deformationen'' heissen \emph{[[homotopies|Homotopien]]}:

\begin{defn}
\label{LeftHomotopy}\hypertarget{LeftHomotopy}{}
\textbf{(Homotopie)}

Seien $f,g\colon X \longrightarrow Y$ zwei [[continuous functions|stetige Funktionen]] zwischen [[topological spaces|topologischen Räumen]] $X,Y$, dann ist eine \emph{[[left homotopy|(linke) Homotopie]]}

\begin{displaymath}
\eta \colon f \,\Rightarrow_L\, g
\end{displaymath}
eine [[continuous function|stetige Funktion]]

\begin{displaymath}
\eta \;\colon\; X \times I \longrightarrow Y
\end{displaymath}
aus dem [[product topological space|topologischen Produktraum]] (Beispiel \ref{ProductTopologicalSpace}) des offenen Balles mit dem standard Intervall, so dass dies in ein [[commuting diagram|kommutierendes Diagramm]] der folgenden Form passt:

\begin{displaymath}
\itexarray{
     {0} \times X
     \\
     {}^{\mathllap{(id,\delta_0)}}\downarrow & \searrow^{\mathrlap{f}}
     \\
     [0,1] \times X  &\stackrel{\eta}{\longrightarrow}& Y
     \\
     {}^{\mathllap{(id,\delta_1)}}\uparrow & \nearrow_{\mathrlap{g}}
     \\
     \{1\} \times X
  }
  \,.
\end{displaymath}
\begin{quote}%
Illustration von J. Tauber \href{http://jtauber.com/blog/2005/07/01/path_homotopy/}{here}


\end{quote}
\end{defn}
\begin{defn}
\label{HomotopyEquivalence}\hypertarget{HomotopyEquivalence}{}
\textbf{(Homotopie\"a{}quivalenz)}

Eine [[continuous function|stetige Funktion]] $f \;\colon\; X \longrightarrow Y$ heisst \emph{[[homotopy equivalence|Homotopieäquivalenz]]} wenn

\begin{enumerate}%
\item es eine stetige Abbildung in der anderen Richtung gibt, $g \;\colon\; Y \longrightarrow X$,


\item sowie [[left homotopies]], def. \ref{LeftHomotopy}, from the two composites to the identity:



\end{enumerate}
\begin{displaymath}
\eta_1 \;\colon\; f\circ g \Rightarrow_L id_Y
\end{displaymath}
and

\begin{displaymath}
\eta_2 \;\colon\; g\circ f \Rightarrow_L id_X
    \,.
\end{displaymath}
\end{defn}
\begin{example}
\label{}\hypertarget{}{}
\textbf{(der offene Ball ist kontrahierbar)}

Jeder [[open ball|offene Ball]] (oder geschlossene Ball) also (nach Beispiel \ref{OpenBallsHomeomorphicToRn}) auch jeder [[Cartesian space|kartesische Raum]] ist [[homotopy equivalence|homotopieäquivalent]] zum Punkt

\begin{displaymath}
\mathbb{R}^n \underset{homotopy}{\simeq} \ast
  \,.
\end{displaymath}
\end{example}
\begin{example}
\label{}\hypertarget{}{}
Die folgenden drei [[graphs|Graphen]]



(also die offensichtlichen [[topological subspaces|topologischen Unterräume]] der [[plane|Ebene]] $\mathbb{R}^2$ die diese Bilder anzeigen) sind nicht [[homeomorphic|homöomorph]]. Aber sie sind [[homotopy equivalence|homotopieäquivalent]], tats\"a{}chlich sind sie alle homotopie\"a{}quivalent zur [[disk|Scheibe]] aus der zwei Punkte entnommen sind, kraft der Homotopien die in folgenden Bildern angedeutet sind:



\begin{quote}%
Illustration aus \href{homotopy+equivalence#Hatcher}{Hatcher}


\end{quote}
\end{example}
$\,$

\hypertarget{ConnectedComponents}{}\subsubsection*{{Zusammenhangskomponenten}}\label{ConnectedComponents}

Unter Verwendung des Begriffs der [[homotopy|Homotopie]] erh\"a{}lt man die grundlegnden Werkzeuge der [[algebraic topology|algebraischen Topologie]], n\"a{}mlich die Konstruktion algebraischer [[homotopy invariants|Homotopieinvarianten]] von topologischen R\"a{}umen. Wir f\"u{}hren hier die einfachsten dieser Werkzuge ein und illustrieren deren Anwendung.

\begin{example}
\label{}\hypertarget{}{}
Eine [[homotopy|Homotopie]] zwischen zwei Punkten

$x,y \;\colon\; \ast \to X$

ist einfach ein stetiger [[path|Pfad]] zwischen diesen Punkten.

\end{example}
\begin{defn}
\label{pi0}\hypertarget{pi0}{}
\textbf{(Zusammenhangskomponenten)}

Die Megen der [[homotopy classes|Homotopieklassen]] von Punkten in einem topologischen Raum $X$ heisst die Menge der \emph{[[connected components|Pfadzusammenhangskomponenten]]}, bezeichnet durch

\begin{displaymath}
\pi_0(X) \in Set
  \,.
\end{displaymath}
Wen $\pi_0(X) \simeq \ast$ ein einzelnes Element enth\"a{}lt, dann heisst $X$ ein \emph{[[path-connected topological space|pfad-zusammenhängender topologischer Raum]]}.

Wenn $f \colon X \to Y$ eine [[continuous map|stetige Abbildung]] zwischen [[topological spaces|topologischen Räumen ist]], dann indizuiert sie auf [[homotopy classes|Homotopieklassen]] von Punkten eine [[function|Funktion]] zwischen den Zusammenhangskomponenten. Diese bezeichnen wir durch:

\begin{displaymath}
\pi_0(f) \;\colon\; \pi_0(X) \longrightarrow \pi_0(Y)
  \,.
\end{displaymath}
\end{defn}
Diese Konstruktion ist offenbar mit [[composition|Komposition]] vertr\"a{}glich, in dem Sinne dass

\begin{displaymath}
\pi_0(g \circ f) = \pi_0(g) \circ \pi_0(f)
\end{displaymath}
und ist offensichtlich [[unitality|unital]], in dem Sinne dass

\begin{displaymath}
\pi_0(id_X) = id_{\pi_{0}(X)}
  \,.
\end{displaymath}
Man fasst diesen sachverhalt zusammen indem man sagt dass $\pi_0$ \emph{[[functor|Funktor]]} ist von der [[category|Kategorie]] [[Top]] von [[topological spaces|topologischen Räumen]] zu der [[category|Kategorie]] [[Set]] der [[sets|Mengen]]:

\begin{displaymath}
\pi_0 \;\colon\; Top \longrightarrow Set
  \,.
\end{displaymath}
Eine offensichtliche aber wichtige Konsequen ist dies:

\begin{prop}
\label{ConnectedComponentsDistinctImpliesHeomeClassesDistinct}\hypertarget{ConnectedComponentsDistinctImpliesHeomeClassesDistinct}{}
Wenn die Mengen von [[connected components|Zusammenhangskomponenten]] zweier [[topological spaces|topologischer Räume]] nicht [[bijection|bijektiv]] sind, dann k\"o{}nnen die beiden R\"a{}ume nicht [[homeomorphism|homöomorph]] zueinander sein:

\begin{displaymath}
\pi_0(X) \neq \pi_0(Y)
  \;\;\;
    \Rightarrow
  \;\;\,
  X \underset{homeo}{\neq} Y
\end{displaymath}
\end{prop}
\begin{proof}
Da $\pi_0$ [[functor|funktoriell]] ist, folgt sofort das es [[isomorphisms|Isomorphismen]] auf [[isomorphisms|Isomorphismen]] schickt, also [[homeomorphisms|Homöomorphismen]] auf [[bijections|Bijektionen]]:

\begin{displaymath}
\begin{aligned}
     & f \circ g = id \;\;and\;\; g \circ f = id
    \\
    \Rightarrow \;\;\;\;\;\;&
    \pi_0(f \circ g) = \pi_0(id) \;\;und \;\; \pi_0(g \circ f) = \pi_0(id)
    \\
    \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;
    &
    \pi_0(f) \circ \pi_0(g) = id \;\;und \;\; \pi_0(g) \circ \pi_0(f) = id
  \end{aligned}
  \,.
\end{displaymath}
\end{proof}
Dies bedeutet dass wir dir Zuammenhangskomponenten als eine erste ``topologische Invariante'' betrachten k\"o{}nnen, welche uns erlaubt manche topologischen R\"a{}ume zu unterscheiden.

\begin{uremark}
$\,\,$ \emph{Verwende topologische Invarianten um topologische R\"a{}ume zu unterscheiden.}

\end{uremark}
Als Anwendungsbeispiel haben wir den folgenden Beweis eines Spezialfalls der [[topological invariance of dimension|topologischen Invarianz der Dimension]] (Theorem \ref{TopologicalInvarianceOfDimension}):

\begin{prop}
\label{TopologicalInvarianceOfDimensionFirstSimpleCase}\hypertarget{TopologicalInvarianceOfDimensionFirstSimpleCase}{}
\textbf{([[topological invariance of dimension|topologische Invarianz der Dimension]] -- erster einfacher Fall)}

Die [[Cartesian spaces|kartesische Räume]] $\mathbb{R}^1$ und $\mathbb{R}^2$ sind nicht [[homeomorphic|homöomorph]] (def. \ref{Homeomorphism}).

\end{prop}
\begin{proof}
Wir nehmenn an e g\"a{}be einen [[homeomorphism|Homöomorphismus]]

\begin{displaymath}
f \colon \mathbb{R}^1 \longrightarrow \mathbb{R}^2
\end{displaymath}
und werden einen Widerspruch erhalte. Sei also $f$ ein Homeomorphismus, dann ist offensichtlich auch seine Einschr\"a{}nkung auf den [[topological subspaces|topologischen Unterraum]] (Beispiel \ref{SubspaceTopology}) den man durch Entfernen des Ursprunges $0 \in \mathbb{R}^1$ and $f(0) \in \mathbb{R}^2$ erh\"a{}lt ein Homeomorphismus:

\begin{displaymath}
f 
    \;\colon\; 
  (\mathbb{R}^1-\{0\})
    \longrightarrow
  (\mathbb{R}^2 - \{f(0)\})
  \,.
\end{displaymath}
Es folgt also dass wir ein Bijektion zwischen den [[connected components|Zusammenhangskomponenten]] $\pi_0(\mathbb{R}^1 - \{0\})$ und $\pi_0(\mathbb{R}^2  - \{f(0)\})$ erhalten w\"u{}rden. Aber eine solche existiert offensichtlich nicht, da letztere Menge nur ein Element enth\"a{}lt, aber erstere Menge zwei Elemente enh\"a{}lt (die negativen und die positiven Zahlen )

\begin{displaymath}
\pi_0(\mathbb{R}^1-\{0\})
    \;\neq\;
  \pi_0(\mathbb{R}^2 - \{f(0)\})  
  \,.
\end{displaymath}
\end{proof}
Die Lehre aus dem beweis von prop. \ref{TopologicalInvarianceOfDimensionFirstSimpleCase} ist seine Strategie:

\begin{uremark}
$\,\,$ \emph{Verwende topologische Invarianten um topologische R\"a{}ume zu unterscheiden.}

\end{uremark}
Nat\"u{}rlich verwendet man in der Praxis st\"a{}rkere Invarianten als nur $\pi_0$.

Die en\"a{}chset topologische Invariante nach den [[connected components|Zusammenhangskomponenten]] ist die \emph{[[fundamental group|Fundamentalgruppe]]:}

\hypertarget{FundamentalGroups}{}\subsubsection*{{Fundamentalgruppe}}\label{FundamentalGroups}

\begin{defn}
\label{FundamentalGroup}\hypertarget{FundamentalGroup}{}
\textbf{(Fundamentalgruppe)}

Sei $X$ ein [[topological space|topologischer Raum]] und sein $x \in X$ ein gegebener Punkt. Dann schreiben wir

\begin{displaymath}
\pi_1(X,x)
    \;\in\; 
  Grp
\end{displaymath}
f\"u{}r, zun\"a{}chst, die Menge von [[homotopy classes|Homotopieklassen]] von [[paths|Pfaden]] in $X$ die bei $x$ starten und enden. Solche Pfade heissen stetige [[loops|Schleifen]] in $X$ basiert bei $x$.

\begin{enumerate}%
\item Unter Aneinanderh\"a{}ngen von Schleifen wird $\pi_1(X,x)$ zu einer [[semi-group|Semigruppe]];


\item die konstante Schleife ist [[neutral element|neutrales Element]] und macht $\pi_1(X,x)$ zu einem ``[[monoid|Monoiden]]''.


\item Umkehrung von Schleifen schickt sie auf ihr [[inverse|Inverses]], und macht $\pi_1(X,x)$ zu einer [[group|Gruppe]].



\end{enumerate}
Diese heisst die \emph{[[fundamental group|Fundamentalgrupp]]} $\pi_1(X,x)$ von $X$ bei $x$.

\end{defn}
Das folgende Bild deutet die vier nicht-trivialen Generatoren der [[fundamental group|Fundamentalgruppe]] der orientierten [[surface|Fläche]] vom [[genus of a surface|Geschlecht]] 2:



\begin{quote}%
Illustration aus \hyperlink{Lawson03}{Lawson 03}


\end{quote}
Auch diese Konstruktion ist [[functor|funktoriell]], nun auf der [[category]] $Top^{\ast/}$ von [[pointed topological spaces|punktierten topologischen Räumen]]:

\begin{displaymath}
\pi_1 \;\colon\; Top^{\ast/} \longrightarrow Grp
  \,.
\end{displaymath}
As $\pi_0$, so also $\pi_1$ is a topological invariant. As before, we may use this to prove a simple case of the theorem of the [[topological invariance of dimension]]:

\begin{defn}
\label{SimplyConnected}\hypertarget{SimplyConnected}{}
Ein topologischer Raum $X$ f\"u{}r den

\begin{enumerate}%
\item $\pi_0(X) \simeq \ast$ ([[path-connected topological space|pfad-zusammenhängend]], def. \ref{pi0})


\item $\pi_1(X,x) \simeq 1$ (die Fundamentalgruppe ist [[trivial group|trivial]], def. \ref{FundamentalGroup}),



\end{enumerate}
heisst \emph{[[simply connected topological space|einfach zusammenhängend]]}.

\end{defn}
\begin{prop}
\label{topologicalInvarianceOfDimensionSecondSimpleCase}\hypertarget{topologicalInvarianceOfDimensionSecondSimpleCase}{}
\textbf{([[topological invariance of dimension|topologische Invarianz der Dimension]] -- zweites einfaches Beispiel)}

Es gibt \emph{keinen} [[homeomorphism|Homöomorphismus]] zwischen $\mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$.

\end{prop}
\begin{proof}
Wir nehmen an es g\"a{}be einen Homeomorphismus $f$ und werden einen Widerspruch herleiten.

Sei also $f$ ein Homeomorphismus, dann ist auch seine Einschr\"a{}nkung auf das Komplement eines Punktes einer

\begin{displaymath}
(\mathbb{R}^2 - \{0\})
    \longrightarrow
  (\mathbb{R}^3 - \{f(0)\})
  \,.
\end{displaymath}
Diese R\"a{}ume sind beide zusammenh\"a{}ngend, lassen sich also durch $\pi_0$ nicht unterscheiden.

Aber ihre [[fundamental groups|Fundamentalgruppen]] $\pi_1$ sind unterschiedlich:

\begin{enumerate}%
\item Die Fundamentalgruppe von $\mathbb{R}^{2} - \{0\}$ ist $\mathbb{Z}$ (die Windungszahl von Schleifen um den entfernten Punkt). Wir diskutieren dies n\"a{}her unten in Beispiel \ref{FundamentalGroupOfTheCircle}.


\item Die Fundamentalgruppe von $\mathbb{R}^3 - \{f(0)\}$ its trivial: der einzelne fehlende Punkt hindert nicht daran Schleifen beliebig zusammenzuziehen.



\end{enumerate}
Aber weil die Konstrution der Fundamentalgruppe[[functor|funktiell]] sit, so folgt, mit de gleichen Argument wie in dem Beweis von Prop. \ref{ConnectedComponentsDistinctImpliesHeomeClassesDistinct}, dass also $f$ kein [[isomorphism|Isomorphismus]] sein kein, also kein [[homeomorphism|Homöomorphismus]].

\end{proof}
$\,$

\hypertarget{CoveringSpaces}{}\subsubsection*{{\"U{}berlagerungsraum}}\label{CoveringSpaces}

Wir diskutieren nun eine ``duale Erscheinungsform'' der Fundamentalgruppe $\pi_1$, welche oft hilft sie zu berechnen.

\begin{defn}
\label{CoveringSpace}\hypertarget{CoveringSpace}{}
\textbf{(\"U{}berlagerungsraum)}

Ein \emph{[[covering space|Überlagerungsraum]]} \"u{}ber einem [[topological space|topologischer Raum]] $X$ ist eine [[continuous map|stetige Abbildung]]

\begin{displaymath}
p \;\colon\; E \longrightarrow X
\end{displaymath}
so dass eine [[open cover|offene Überdeckung]] existiert

\begin{displaymath}
\underset{i}{\sqcup}U_i \longrightarrow X
\end{displaymath}
so dass die Einschr\"a{}nkung von $E \overset{p}{\to} X$ auf jedes der [[homeomorphic|homöomorph]] ist zu dem [[product topological space|topologischen Produktraum]] (Beispiel \ref{ProductTopologicalSpace}) von $U_i$ mit dem [[discrete topological space|diskreten topologischen Raum]] (Beispiel \ref{DiscreteTopologicalSpace}) auf einer [[set|Menge]] $F_i$:

\begin{displaymath}
\itexarray{
    \underset{i}{\sqcup} U_i \times F_i &\longrightarrow&  E
    \\
    \downarrow &(pb)& \downarrow^{\mathrlap{p}}
    \\
    \underset{i}{\sqcup} U_i &\underset{}{\longrightarrow}& X
  }
  \,.
\end{displaymath}
F\"u{}r $x \in U_i \subset X$ ein Punkt heissen die Element von $F_x  = F_i$ die \emph{[[leaf|Blätter]]} der \"U{}berlagerung an diesem Punkt.

\end{defn}
\begin{example}
\label{kForlCovringOfCircle}\hypertarget{kForlCovringOfCircle}{}
\textbf{(\"U{}berdeckung des Kreises durch den Kreis)}

Betrachte den [[circle|Kreis]] $S^1 = \{ z \in \mathbb{C}  \;\vert\; {\vert z\vert} = 1 \}$ als den [[topological subspace|topologischen Unterraum]] von Elementen mit [[absolute value|Betrag]] 1 in der [[complex plane|komplexen Ebene]]. F\"u{}r $k \in \mathbb{N}$, betrachte die stetige Funktion

\begin{displaymath}
p \coloneqq (-)^k \;\colon\; S^1 \longrightarrow S^1
\end{displaymath}
die eine komplexe Zahl auf ihr $k$-te Potenz schickt.

Man denk sich dies als ``der Kreis windet sich $k$ mal um sich selbst''. Pr\"a{}zise: f\"u{}r $k \geq 1$ ist dies ein [[covering space|Überlagerungsraum]] (Def. \ref{CoveringSpace}) mit $k$ Bl\"a{}ttern an jedem Punkt.

\begin{quote}%
Illustration aus \href{homotopy+equivalence#Hatcher}{Hatcher}


\end{quote}
\end{example}
\begin{example}
\label{CoveringOfCircleByRealLine}\hypertarget{CoveringOfCircleByRealLine}{}
\textbf{(\"U{}berlagerung des Kreises durch die reelle Gerade)}

Betrachte die [[continuous function|stetige Funktion]]

\begin{displaymath}
\exp(2 \pi i(-)) \;\colon\; \mathbb{R}^1 \longrightarrow S^1
\end{displaymath}
von der [[real line|reellen Geraden]] zum [[circle|Kreis]], welche

\begin{enumerate}%
\item mit the Kreis betrachtet als der Einheitskreis in der [[complex plane|komplexen Ebene]] $\mathbb{C}$ durch

\begin{displaymath}
t \mapsto \exp(2\pi i t)
\end{displaymath}
gegeben ist


\item mit dem Kreis betrachtet als Einheitskreis in $\mathbb{R}^2$ durch

\begin{displaymath}
t \mapsto ( cos(2\pi t), sin(2\pi t) )
\end{displaymath}
gegeben ist.



\end{enumerate}
Man darf sich dies vorstellen als ``das unendliche Umwickeln des Kreises durch die reelle Achse''.

Pr\"a{}zise: dies ist ein [[covering space|Überlagerungsraum]] (def. \ref{CoveringSpace}) mit [[leaves|Blattmenge]] an jedem Punkt isomorph zur Menge $\mathbb{Z}$ der [[natural numbers|ganzen Zahlen]].

\end{example}
\begin{defn}
\label{ActionOfFundamentalGroupOnFibersOfCovering}\hypertarget{ActionOfFundamentalGroupOnFibersOfCovering}{}
\textbf{(Wirkung der Fundamentalgruppe auf Bl\"a{}tter einer \"U{}berlagerung)}

Sei $E \overset{\pi}{\longrightarrow} X$ ein [[covering space|Überlagerungsraum]] (def. \ref{CoveringSpace}).

Dann gilt f\"u{}r jeden Punkt $x \in X$ und jede Wahl von Element $e \in F_x$ aus der [[leaf space|Blattmenge]] \"u{}ber $x$, es existiert, bis auf [[homotopy|Homotopie]], eine eindeutige Hebung

\begin{itemize}%
\item eines Pfades in $X$ der ein Element $\gamma$ der [[fundamental group|Fundamentalgruppe]] $\pi_1(X,x)$ (def. \ref{FundamentalGroup}) repr\"a{}sentiert


\item zu einem stetigen Pfad in $E$ der bei $e$ beginnt.



\end{itemize}
Dieser Pfad endet notwendigerwise and einem (anderen) Punkt

\begin{displaymath}
\rho_\gama(e) \in F_x
\end{displaymath}
in derselben [[fiber|Faser]].

Diese Kontruktion gibt eine [[function|Funktion]]

\begin{displaymath}
\itexarray{
    \rho &\colon& F_x \times \pi_1(X,x) &\longrightarrow& F_x
    \\
    && (e,\gamma) &\mapsto& \rho_\gamma(e)
  }
\end{displaymath}
aus dem [[Cartesian product|kartesischen Produk]] des [[leaf space|Blattraumes]] mit der [[fundamental group|Fundamentalgruppe]]. Diese Funtion ist kompatibel mit der [[group|Gruppen]]-Struktur auf $\pi_1(X,x)$, in dem Sinne dass die folgenden [[commuting diagram|Diagramme kommutieren]]:

\begin{displaymath}
\itexarray{
    F_x \times \{const_x\} && \longrightarrow && F_x \times \pi_1(X,x)
    \\
    & {}_{\mathllap{id}}\searrow && \swarrow_{\mathrlap{\rho}}
    \\
    && F_x
  }
  \;\;\;\;\;\;
  \left(
  \itexarray{
    \text{das neutrale Element,}
    \\
    \text{also die konstante Schleife}
    \\
    \text{wirkt trivial}
  }
  \right)
\end{displaymath}
and

\begin{displaymath}
\itexarray{
    F_x \times \pi_1(X,x) \times \pi_1(X,x)
      &\overset{\rho \times id}{\longrightarrow}&
    F_x \times \pi_1(X,x)
    \\
    {}^{\mathllap{id \times ((-)\cdot(-))}}\downarrow && \downarrow^{\mathrlap{\rho}}
    \\
    F_x \times \pi_1(X,x)
      &\underset{\rho}{\longrightarrow}&
    F_x
  }
  \;\;\;\;\;\;
  \left(
  \itexarray{
    \text{die Wirkung von zwei Gruppenelementen }
    \\
    \text{ist die gleiche wie}
    \\
    \text{erst beide Elemente zu verkn&#252;pfen}
    \\
    \text{und dann mit dem Produkt zu wirken}
  }
  \right)
  \,.
\end{displaymath}
Man sagt auch dass $\rho$ eine \emph{[[action|Wirkung]]} oder \emph{[[permutation representation|Permutationsdarstellung]]} von $\pi_1(X,x)$ auf $F_x$ ist.

For $G$ irgend eine [[group|Gruppe]], dann gibt es eine [[category|kategorie]] $G Set$ deren [[objects|Objekte]] die [[sets|Mengen]] mit $G$-[[action|Wirkung]] sind, und deren [[morphisms|Morphismen]] solche [[function|Funktionen]] sind die diese $G$-Wirkung respektieren.

Die obige Konstruktion ist dann ein [[functor|Funktor]] der Form

\begin{displaymath}
Cov(X) \longrightarrow \pi_1(X,x) Set
  \,.
\end{displaymath}
\end{defn}
\begin{example}
\label{}\hypertarget{}{}
\textbf{(drei-bl\"a{}ttrige \"U{}berdeckung des Kreises)}

Es gibt, bis auf [[isomorphism|Isomorphismus]], drei uterschiedliche 3-bl\"a{}ttrige [[covering spaces|Überlagerungen]] des [[circle|Kreises]] $S^1$.

Die von Beeispiel \ref{kForlCovringOfCircle} f\"u{}r $k = 3$. Und eine andere. Und die triviale. Die zugeh\"o{}rigen [[permutation actions|Permutationswirkungen]] sind in dem bild rechts angedeutet.

\begin{quote}%
graphics grabbed from \href{homotopy+equivalence#Hatcher}{Hatcher}


\end{quote}
\end{example}
Wir sind jetzt bereit den Hauptsatz \"u{}ber die [[fundamental group|Fundamentalgruppe]] zu nennen.

Wir bn\"o{}tigen nur noch die folgende technische Bdingung. Diese ist f\"u{}r alle ``sinnvollen'' topologischen R\"a{}ume erf\"u{}llt:

\begin{defn}
\label{SemiLocallySimplyConnected}\hypertarget{SemiLocallySimplyConnected}{}
\textbf{(semi-lokal einfach zusammenh\"a{}ngend)}

Ein [[topological space|topologischer Raum]] $X$ heisst

\begin{enumerate}%
\item \emph{[[locally path-connected|lokal pfad-zusammenhängend]]} wenn f\"u{}r jeden Punkt $x \in X$ und f\"u{}r jede [[neighbourhoodUmgebung]] $x \in U \subset X$ gilt dass eine Umgebung $x \in V \subset U$ existiert so dass $V$ [[path-connected topological space|pfad-zusammenhängend]] ist (def. \ref{pi0});


\item \emph{[[semi-locally simply connected topological space|semi-lokal einfach zusammenhängend]]} wenn jeder Punkt $x \in X$ eine [[neighbourhood|Umgebung]] $x \in U \subset X$ hat so dass der induzierte Morphismus von [[fundamental groups|Fundamentalgruppen]] $\pi_1(U,x) \to \pi_1(X,x)$ trivial ist (also jedes Element auf das [[neutral element|neutrale Element]] schickt).



\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{theorem}
\label{FundamentalTheoremOfCoveringSpaces}\hypertarget{FundamentalTheoremOfCoveringSpaces}{}
\textbf{([[fundamental theorem of covering spaces|Fundamentalsatz der Überlagerungstheorie]])}

Sei $X$ ein [[topological space|topologischer Raum]] der [[connected topological space|pfad-zusammenhängend]] (def. \ref{pi0}), [[locally path-connected topological space|lokal pfad-zusammenhängend]] (def. \ref{SemiLocallySimplyConnected}) und [[semi-locally simply connected topological space|semi-lokal einfach zusammenhängend]] ist (def. \ref{SemiLocallySimplyConnected}).

Dann ist f\"u{}r jedes $x \in X$ der Funktor

\begin{displaymath}
Fib_x \;\colon\; Cov(X) \overset{}{\longrightarrow} \pi_1(X,x) Set
  \,.
\end{displaymath}
von def. \ref{ActionOfFundamentalGroupOnFibersOfCovering} der die [[action|Wirkung]] der [[fundamental group|Fundamentalgruppe]] von $X$ auf die Menge der [[leaves|Blätter]] \"u{}ber $x$ konstruiert hat die folgenden Eigenschaften:

\begin{enumerate}%
\item jede [[isomorphism class|Isomorphieklasse]] von $\pi_1(X,x)$-[[actions|Wirkungen]] ist im Bild des Funktors (man sagt: der Funktor ist \emph{[[essentially surjective functor|essentiell surjectiv]]});


\item f\"u{}r je zwei \"U{}berlagerungsr\"a{}ume $E_1, E_2$ of $X$ ist die Abbildung au [[hom-sets|Morphismen-Mengen]]

\begin{displaymath}
Fib_x \;\colon\; Hom_{Cov(X)}(E_1, E_2) \longrightarrow Hom( Fib_x(E_1), Fib_x(E_2) )
\end{displaymath}
eine [[bijection|Bijektion]] (man sagt der Funktor ist \emph{[[fully faithful functor|voll true]]} ).



\end{enumerate}
Ein Funktor mit diesen Eigenschaften heisst \emph{[[equivalence of categories|Äquivalenz von Kategorien]]}:

\begin{displaymath}
Cov(X) \overset{\simeq}{\longrightarrow} \pi_1(X,x) Set
  \,.
\end{displaymath}
\end{theorem}
Dies hat einige interessante Konsequenzen\ldots{}

$\,$

$\,$

Every sufficiently nice topological space $X$ as above has a covering which is [[simply connected topological space|simply connected]] (def. \ref{SimplyConnected}). This is the covering corresponding, under the [[fundamental theorem of covering spaces]] (theorem \ref{FundamentalTheoremOfCoveringSpaces}) to the action of $\pi_1(X)$ on itself. This is called the \emph{[[universal covering space]]} $\hat X \to X$. The above theorem implies that the [[fundamental group]] itself may be recovered as the [[automorphisms]] of the universal covering space:

\begin{displaymath}
\pi_1(X) \simeq Aut_{Cov_{/X}}(\hat X, \hat X)
  \,.
\end{displaymath}
\begin{example}
\label{FundamentalGroupOfTheCircle}\hypertarget{FundamentalGroupOfTheCircle}{}
\textbf{(computing the fundamental group of the circle)}

The covering $\exp(2\pi i(-)) \;\colon\; \mathbb{R}^1 \to S^1$ from example \ref{CoveringOfCircleByRealLine} is [[simply connected topological space|simply connected]] (def. \ref{SimplyConnected}), hence must be the [[universal covering space]], up to [[homeomorphism]].

It is fairly straightforward to see that the only [[homeomorphisms]] from $\mathbb{R}^1$ to itself over $S^1$ are given by [[integer]] translations by $n \in \mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{R}$:

\begin{displaymath}
\itexarray{
    \mathbb{R}^1
      &&
        \underoverset{\simeq}{t \mapsto t + n}{\longrightarrow}
      &&
    \mathbb{R}^1
    \\
    & {}_{\mathllap{\exp(2 \pi i(-))}}\searrow && \swarrow_{\mathrlap{\exp(2 \pi i(-))}}
    \\
    && S^1
  }
  \,.
\end{displaymath}
Hence

\begin{displaymath}
Aut_{Cov_{/S^1}}(\hat S^1, \hat S^1) \simeq \mathbb{Z}
\end{displaymath}
and hence the [[fundamental group]] of the [[circle]] is the additive group of [[integers]]:

\begin{displaymath}
\pi_1(S^1) \simeq \mathbb{Z}
  \,.
\end{displaymath}
\end{example}
$\,$


\vspace{.5em} \hrule \vspace{.5em}
$\,$

\hypertarget{literatur}{}\subsection*{{Literatur}}\label{literatur}

Einf\"u{}hrende Lehrb\"u{}cher:

\begin{itemize}%
\item [[James Munkres]], \emph{Topology}, Prentice Hall 1975 (2000)


\item Terry Lawson, \emph{Topology: A Geometric Approach}, Oxford University Press (2003) (\href{http://users.metu.edu.tr/serge/courses/422-2014/supplementary/TGeometric.pdf}{pdf})



\end{itemize}
Siehe auch die Literatur unter \emph{[[algebraic topology|algebraische Topologie]]}.

Kurzeinf\"u{}hrungen:

\begin{itemize}%
\item [[Friedhelm Waldhausen]], \emph{Topologie} (\href{https://www.math.uni-bielefeld.de/~fw/ein.pdf}{pdf})


\item Alex Kuronya, \emph{Introduction to topology}, 2010 (\href{https://www.uni-
frankfurt.de/64271720/TopNotes_Spring10.pdf}{pdf})


\item Anatole Katok, Alexey Sossinsky, \emph{Introduction to modern topology and geometry} (\href{http://www.personal.psu.edu/axk29/MASS-07/Background-forMASS.pdf}{pdf})



\end{itemize}
Siehe auch

\begin{itemize}%
\item [[Topospaces]], ein Wiki mit Grundlagen zur Topologie.

\end{itemize}


\end{document}