Zoran Skoda Gabriel 329

Ces données sont soumises aux axiomes $\mathrm{C}_{1}$ et $\mathrm{C}_{2}$ :

$\mathrm{C}_{1}$ : Soient $f, g$ et $h$ trois morphismes $: f: M \rightarrow N, g: N \rightarrow P$ et $h: P \rightarrow Q$. Dans ces conditions, on a l’égalité $h \circ(g \circ f) \equiv(h \circ g) \circ f$.

$\mathrm{C}_{2}$ : Pour tout objet $M$ de $\boldsymbol{C}$, il existe un morphisme $\mathrm{I}_{M}: M \rightarrow M$ tel qu’on ait $\mathrm{I}_{M} \circ f \equiv f$ et $g \circ \mathrm{I}_{M} \equiv g$ chaque fois que ces égalités ont un sens.

Si $\boldsymbol{C}$ est une catégorie, il existe pour tout objet $M$ un seul morphisme $\mathbf{I}_{M}$ satisfaisant à $\mathrm{C}_{2}$. Il porte le nom de \emph{morphisme identique} de $M$. Si $f: M \rightarrow N$ est un morphisme de $\boldsymbol{C}$, l’objet $M$ s’appelle \emph{la source} de $f$, l’objet $N$ \emph{le but} de $f$. Nous noterons dorénavant $MC$ la somme des ensembles $\operatorname{Hom}_{\boldsymbol{C}}(M, N)$ et nous l’appellerons \emph{l’ensemble des morphismes} de $\boldsymbol{C}$.

Dans la suite, $\mathfrak{U}$Ens ou Ens (resp. $\mathfrak{U}\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}$ ou $\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}$) désignera la catégorie des ensembles (resp. des groupes abéliens) :

\begin{itemize} \item Les objets de Ens (resp. de $\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}$) sont les ensembles appartenant à $\mathfrak{U}$ (resp. les groupes abéliens dont l’ensemble sous-jacent appartient à $\mathfrak{U}$). \item Si $M$ et $N$ sont deux objets de Ens (resp. de $\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}$), un morphisme de $M$ dans $N$ est une application de $M$ dans $N$ (resp. une application linéaire de $M$ dans $N$). \item La loi $(f, g) \rightarrow g \circ f$ est la loi usuelle de composition des applications. \end{itemize}

Les définitions données coïncident avec celles de [10], à ceci près que les objets d’une catégorie sont ici les éléments d’un ensemble. Le lecteur voudra bien se reporter à [10] pour la définition de notions telles que les suivantes : diagramme commutatif, monomorphisme, sous-objet (appelé sous-truc dans [10]), générateur, etc. Nous nous contentons de préciser quelques notations et abus de langage :

Un \emph{sous-objet} de $M$ (resp. un \emph{quotient} de $M$) est un monomorphisme $i_{N}^{M}: N \rightarrow M$ (resp. un épimorphisme $p_{Q}^{M}: M \rightarrow Q$). Nous dirons souvent que $N$ est un sous-objet de $M$ et que $i_{N}^{M}$ est le monomorphisme canonique de $N$ dans $M$ (resp. que $Q$ est un quotient de $M$ et que $p_{Q}^{M}$ est l’épimorphisme canonique de $M$ sur $Q$).

Si $\boldsymbol{C}$ est une catégorie, la \emph{catégorie duale} de $\boldsymbol{C}$ sera notée $\boldsymbol{C}^{o}$. Si $\left(\boldsymbol{C}_{i}\right)_{i \in I}$ est une famille de catégories, nous désignons par $\prod_{i \in I} \boldsymbol{C}_{i}$ la \emph{catégorie produit} :

\begin{itemize} \item Les objets du produit $\prod_{i \in I} \boldsymbol{C}_{i}$ sont les éléments du produit des ensembles $\boldsymbol{O}\boldsymbol{C}_{i}$. \item Si $\left(M_{i}\right)_{i \in I}$ et $\left(N_{i}\right)_{i \in I}$ sont deux objets de la catégorie produit, un morphisme du premier dans le second est un élément du produit $\prod_{i \in I} \operatorname{Hom}_{\boldsymbol{C}_{i}}\left(M_{i}, N_{i}\right)$. \end{itemize}