Zoran Skoda
Hurewiczeva koneksija

Osnovne definicije

Za svako neprekidno preslikavanje p:EBp: E\to B topoloških prostora, definiramo kocilindar Cocyl(p)Cocyl(p) kao povlak

Cocyl(p) pr E E pr B I p B I ev 0 B\array{ Cocyl(p)&\overset{pr_E}\to & E\\ \pr_{B^I}\downarrow && \downarrow p\\ \,\,B^I&\stackrel{ev_0}\to & B }

gdje je B IB^I prostor neprekidnih puteva s:[0,1]Bs:[0,1]\to B u BB, i ev 0:B IBev_0:B^I\to B preslikavanje koje šalje put ss u njegovu vrijednost s(0)s(0). Kocilindar možemo realizirati kao potprostor prostora B I×EB^I\times E koji se sastoji od parova (s,e)(s,e) takvih da s(0)=p(e)s(0)=p(e).

Preslikavanje p:EBp:E\to B inducira preslikavanje p I:E IB Ip^I:E^I\to B^I dano kompozicijom spss\mapsto p\circ s. Postoji preslikavanje p !:E ICocyl(p)p_!:E^I\to Cocyl(p) dano s p !(u)=(pu,u(0))p_!(u)=(p\circ u,u(0)), koje ima svojstvo da je projp !=p Iproj\circ p_! = p^I gdje je proj:Cocyl(p)B Iproj:Cocyl(p)\to B^I projekcija na prvi faktor.

Hurewiczeva koneksija je svaki neprekidni prerez

s:Cocyl(p)B Is:Cocyl(p)\to B^I

preslikavanja p !:E ICocyl(p)p_!:E^I\to Cocyl(p).

Karakterizacija fibracija

Teorem. Preslikavanje p:EBp:E\to B je Hurewiczeva fibracija akko postoji barem jedan neprekidni prerez od p !p_!. Podizanje homotopije se konstruira dosta direktno u sklopu dokaza. Naravno postoji i mnogo drugih karakterizacija.

Dokaz. Promotrimo slijedeći dijagram

Y θ Cocyl(p) pr E E σ 0 σ 0 p Y×I θ×I Cocyl(p)×I ev B\begin{matrix} Y& \stackrel{\theta}\to & Cocyl(p) &\overset{pr_E}\to & E\\ \sigma_0\downarrow&&\sigma_0\downarrow&&\downarrow p\\ Y\times I&\stackrel{\theta\times I}\underset{}{\to}& Cocyl(p)\times I& \underset{ev}\to &B \end{matrix}

gdje je pr E:Cocyl(p)Epr_E: Cocyl(p)\to E restrikcija projekcije E×B IEE\times B^I\to E na faktor EE i Cocyl(p)×IBCocyl(p)\times I\to B evaluacijsko preslikavanje (e,u,t)u(t)(e,u,t)\mapsto u(t) za (e,u)Cocyl(p)(e,u)\in Cocyl(p). Desni kvadrat je komutativan i definira problem podizanja homotopije. Ako je pp kofibracija taj univerzalni problem podizanja homotopije ima neko rješenje, nazovimo ga s˜:Cocyl(p)×IE\tilde{s}:Cocyl(p)\times I\to E. Po eksponencijalnom zakonu to preslikavanje odgovara nekom preslikavanju s:Cocyl(p)E Is:Cocyl(p)\to E^I. Lako se provjeri da je to preslikavanje prerez od p !p_!.

Obratno, pretpostavimo egzistenciju Hurewiczeve koneksije ss, tada je s˜\tilde{s} dijagonalno preslikavanje u desnom kvadratu i oba trokuta na koji ga dijeli su komutativna (univerzalni problem je riješen). Sad tebamo provjeriti da to rješava probleme podizanja homotopije za svaki YY. Pretpostavimo ove podatke za propblem podizanja homotopije: f˜:YE\tilde{f}:Y\to E, F:Y×IBF:Y\times I\to B s F 0=pf˜:YEF_0 = p\circ \tilde{f}:Y\to E; neka također F:YB IF':Y\to B^I buide preslikavanje koje dobijemo od FF po eksponencijalnom preslikavanju. Po univerzalnom svojstvu kocilindra (kao povlaka), postoji jedinstveno preslikavanje θ:YCocyl(π)\theta: Y\to Cocyl(\pi) tako da pr B Iθ=F:YB Ipr_{B^I}\circ\theta=F':Y\to B^I i pr Eθ=f˜:YEpr_E\circ\theta =\tilde{f}:Y\to E. Primijetimo da su kompozicije horizontalnih strelica u dijagramu f˜\tilde{f} gore i FF dolje, dakle vanjski kvadrat je upravo dijagram za problem podizanja homotopije za par f˜,F\tilde{f}, F. Tada je željeno podizanje dano formulom s˜(θ×id I):Y×IE\tilde{s}\circ (\theta\times id_I):Y\times I\to E. Jednostavnim provjerama (da je to zaista podizanje, sve komutira itd.) dokaz je sad lako kompletiran.

Ostala svojstva i primjeri

Ako je p:EBp:E \to B glatki glavni svežanj tada svaka distribucija horizontalnih potprostora u tangentnom svežnju TETE koja je Ehresmannova koneksija, inducira pripadnu Hurewiczevu koneksiju u glatkom smislu.

Last revised on November 25, 2009 at 21:20:46. See the history of this page for a list of all contributions to it.