Zoran Skoda Hurewiczeva koneksija

Osnovne definicije

Za svako neprekidno preslikavanje $p: E\to B$ topoloških prostora, definiramo kocilindar $Cocyl(p)$ kao povlak

$$\array{ Cocyl(p)&\overset{pr_E}\to & E\\ \pr_{B^I}\downarrow && \downarrow p\\ \,\,B^I&\stackrel{ev_0}\to & B }$$

gdje je $B^I$ prostor neprekidnih puteva $s:[0,1]\to B$ u $B$, i $ev_0:B^I\to B$ preslikavanje koje šalje put $s$ u njegovu vrijednost $s(0)$. Kocilindar možemo realizirati kao potprostor prostora $B^I\times E$ koji se sastoji od parova $(s,e)$ takvih da $s(0)=p(e)$.

Preslikavanje $p:E\to B$ inducira preslikavanje $p^I:E^I\to B^I$ dano kompozicijom $s\mapsto p\circ s$. Postoji preslikavanje $p_!:E^I\to Cocyl(p)$ dano s $p_!(u)=(p\circ u,u(0))$, koje ima svojstvo da je $proj\circ p_! = p^I$ gdje je $proj:Cocyl(p)\to B^I$ projekcija na prvi faktor.

Hurewiczeva koneksija je svaki neprekidni prerez

$$s:Cocyl(p)\to B^I$$

preslikavanja $p_!:E^I\to Cocyl(p)$.

Karakterizacija fibracija

Teorem. Preslikavanje $p:E\to B$ je Hurewiczeva fibracija akko postoji barem jedan neprekidni prerez od $p_!$. Podizanje homotopije se konstruira dosta direktno u sklopu dokaza. Naravno postoji i mnogo drugih karakterizacija.

Dokaz. Promotrimo slijedeći dijagram

$$\begin{matrix} Y& \stackrel{\theta}\to & Cocyl(p) &\overset{pr_E}\to & E\\ \sigma_0\downarrow&&\sigma_0\downarrow&&\downarrow p\\ Y\times I&\stackrel{\theta\times I}\underset{}{\to}& Cocyl(p)\times I& \underset{ev}\to &B \end{matrix}$$

gdje je $pr_E: Cocyl(p)\to E$ restrikcija projekcije $E\times B^I\to E$ na faktor $E$ i $Cocyl(p)\times I\to B$ evaluacijsko preslikavanje $(e,u,t)\mapsto u(t)$ za $(e,u)\in Cocyl(p)$. Desni kvadrat je komutativan i definira problem podizanja homotopije. Ako je $p$ kofibracija taj univerzalni problem podizanja homotopije ima neko rješenje, nazovimo ga $\tilde{s}:Cocyl(p)\times I\to E$. Po eksponencijalnom zakonu to preslikavanje odgovara nekom preslikavanju $s:Cocyl(p)\to E^I$. Lako se provjeri da je to preslikavanje prerez od $p_!$.

Obratno, pretpostavimo egzistenciju Hurewiczeve koneksije $s$, tada je $\tilde{s}$ dijagonalno preslikavanje u desnom kvadratu i oba trokuta na koji ga dijeli su komutativna (univerzalni problem je riješen). Sad tebamo provjeriti da to rješava probleme podizanja homotopije za svaki $Y$. Pretpostavimo ove podatke za propblem podizanja homotopije: $\tilde{f}:Y\to E$, $F:Y\times I\to B$ s $F_0 = p\circ \tilde{f}:Y\to E$; neka također $F':Y\to B^I$ buide preslikavanje koje dobijemo od $F$ po eksponencijalnom preslikavanju. Po univerzalnom svojstvu kocilindra (kao povlaka), postoji jedinstveno preslikavanje $\theta: Y\to Cocyl(\pi)$ tako da $pr_{B^I}\circ\theta=F':Y\to B^I$ i $pr_E\circ\theta =\tilde{f}:Y\to E$. Primijetimo da su kompozicije horizontalnih strelica u dijagramu $\tilde{f}$ gore i $F$ dolje, dakle vanjski kvadrat je upravo dijagram za problem podizanja homotopije za par $\tilde{f}, F$. Tada je željeno podizanje dano formulom $\tilde{s}\circ (\theta\times id_I):Y\times I\to E$. Jednostavnim provjerama (da je to zaista podizanje, sve komutira itd.) dokaz je sad lako kompletiran.

Ostala svojstva i primjeri

Ako je $p:E \to B$ glatki glavni svežanj tada svaka distribucija horizontalnih potprostora u tangentnom svežnju $TE$ koja je Ehresmannova koneksija, inducira pripadnu Hurewiczevu koneksiju u glatkom smislu.