Zoran Skoda
Yonedina lema

For more extensive English page in main nnlab see Yoneda lemma.

Neka je 𝒟\mathcal{D} kategorija. Podsjetimo se da je predsnop skupova na 𝒟\mathcal{D} isto što i kontravarijantni funktor 𝒟Set\mathcal{D}\to Set. Označino s 𝒟^\hat{\mathcal{D}} kategoriju predsnopova skupova na 𝒟\mathcal{D} i s 𝒟^ sm\hat{\mathcal{D}}^{sm} kategoriju malih predsnopova skupova na 𝒟\mathcal{D}.

Definicija. Korespodencija

h:Dh D:=Hom 𝒟(,D),DOb𝒟,h f(g)=fg:CD,h:D\mapsto h_D:=\Hom_\mathcal{D}(-,D), \,\,\,D\in\Ob\mathcal{D},\,\,\,\,h_f(g)=f\circ g : C\to D',

gdje su f:DDf:D\to D', g:CDg: C\to D morfizmi u 𝒟\mathcal{D}, je funktor h:𝒟𝒟^h:\mathcal{D}\to\hat{\mathcal{D}} kojeg nazivamo Yonedino ulaganje.

Teorem. (Yonedina lema, jaka verzija) Neka je P:𝒟SetP:\mathcal{D}\to\Set bilo koji predsnop skupova. Tada postoji, prirodna u DD, bijekcija skupova

Nat(h D,P)P(D). \mathrm{Nat}(h_D,P)\cong P(D).

Koristan savjet čitatelju: pokušajte najprije sami dokazati ovaj teorem.

Dokaz. Neka je α:h DP\alpha : h_D\Rightarrow P prirodna transformacija s komponentama α C:Hom 𝒟(C,D)P(D)\alpha_C : \Hom_{\mathcal{D}}(C,D)\to P(D). Tada definiramo X αP(D)X_\alpha\in P(D) sa X α=α D(id D)X_\alpha = \alpha_D(\id_D). Dovoljno je pokazati da preslikavanje X:αX αX : \alpha \mapsto X_\alpha Nat(h D,P)P(D)\mathrm{Nat}(h_D,P)\stackrel\cong\to P(D) ima inverz. Za svaki yy u P(D)P(D) definiramo prirodnu transformaciju e(y):h DPe(y):h_D\Rightarrow P s komponentama e(y) C:(fh D(C))(P(f)(y)P(C))e(y)_C: (f\in h_D(C))\mapsto (P(f)(y)\in P(C)) (sjetimo se da je PP kontravarijantan, dakle P(f):P(D)P(C)P(f):P(D)\to P(C)). Tada

e(X α) C(f)=P(f)(α D(id D))=α CP(f)(id D)=α Cid C=α C, e(X_\alpha)_C(f) = P(f)(\alpha_D(\id_D)) =\alpha_C \circ P(f)(\id_D) = \alpha_C\circ\id_C=\alpha_C,
X e(y)=(e(y) D)(id D)=P(id D)(y)=y.X_{e(y)} = (e(y)_D)(\id_D)= P(\id_D)(y) = y.

Dakle, preslikavanja ye(y)y\mapsto e(y) i αX α\alpha\mapsto X_\alpha su jedan drugome inverzi.

Dijagrame prirodnosti ostavljamo čitatelju za provjeru.

Korolar. (Yonedina lema, slaba verzija) Yonedino ulaganje h:Dh Dh: D\mapsto h_D je potpun i vjeran funktor h:𝒟𝒟^h:\mathcal{D}\to\hat\mathcal{D}.

Dokaz. U jakoj Yonedinoj lemi gore stavimo P=h CP = h_C. Tako dobivamo bijekciju Nat(h D,h C)𝒟(D,C)\mathrm{Nat}(h_D,h_C)\cong \mathcal{D}(D,C) za svaki par C,DC,D, tj. funktor Dh DD\mapsto h_D je ulaganje kategorija.

Primijetimo da se Yonedino ulaganje prirodno razlaže u kompoziciju 𝒟h sm𝒟^ sm𝒟^\mathcal{D}\stackrel{h^{\mathrm{sm}}}\longrightarrow\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow \hat\mathcal{D} gdje je 𝒟^ sm\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}} kategorija malih predsnopova, a 𝒟^ sm𝒟^\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow \hat\mathcal{D} kanonsko ulaganje. Naime svaki reprezentabilni snop je mali po definiciji.

Predsnop FF za koji postoji prirodni izomorfizan h DFh_D\cong F za neki objekt DD, zove se reprezentabilan; par reprezentabilnog funktora i takvog izomorfizma se ponekad zove reprezentacija (funktora FF). Često pod reprezentabilan funktor zapravo i mislimo reprezentaciju, jer je potonja terminologija manje raširena.

Reprezentacija funktora FF se može gledati i kao par (D,u)(D,u) gdje je uF(D)u\in F(D) element sa svojstvom da za svaki drugi objekt EE i element zF(E)z\in F(E) postoji jedinstveni morfizam f:EDf:E\to D takav da je F(f)(u)=zF(f)(u) = z. Zaista, formula α E u:fF(f)(u)\alpha^u_E: f\mapsto F(f)(u), fh D(E)\forall f\in h_D(E), zadaje bijektivnu komponentu prirodne transformacije α u:h DF\alpha^u: h_D\to F. Element uu se obično zove univerzalni element, a DD klasificirajući objekt za reprezentabilni funktor FF. Npr. univerzalni svežanj nad klasificirajućem prostorom za funktor koji parakompaktu zadaje skup klasa izomorfizama glavnih (ili vektorskih) svežnjeva s danom strukturnom grupom.

Last revised on June 23, 2013 at 18:18:27. See the history of this page for a list of all contributions to it.