Zoran Skoda Yonedina lema

For more extensive English page in main $n$lab see Yoneda lemma.

Neka je $\mathcal{D}$ kategorija. Podsjetimo se da je predsnop skupova na $\mathcal{D}$ isto što i kontravarijantni funktor $\mathcal{D}\to Set$. Označino s $\hat{\mathcal{D}}$ kategoriju predsnopova skupova na $\mathcal{D}$ i s $\hat{\mathcal{D}}^{sm}$ kategoriju malih predsnopova skupova na $\mathcal{D}$.

Definicija. Korespodencija

$$h:D\mapsto h_D:=\Hom_\mathcal{D}(-,D), \,\,\,D\in\Ob\mathcal{D},\,\,\,\,h_f(g)=f\circ g : C\to D',$$

gdje su $f:D\to D'$, $g: C\to D$ morfizmi u $\mathcal{D}$, je funktor $h:\mathcal{D}\to\hat{\mathcal{D}}$ kojeg nazivamo Yonedino ulaganje.

Teorem. (Yonedina lema, jaka verzija) Neka je $P:\mathcal{D}\to\Set$ bilo koji predsnop skupova. Tada postoji, prirodna u $D$, bijekcija skupova

$$\mathrm{Nat}(h_D,P)\cong P(D).$$

Koristan savjet čitatelju: pokušajte najprije sami dokazati ovaj teorem.

Dokaz. Neka je $\alpha : h_D\Rightarrow P$ prirodna transformacija s komponentama $\alpha_C : \Hom_{\mathcal{D}}(C,D)\to P(D)$. Tada definiramo $X_\alpha\in P(D)$ sa $X_\alpha = \alpha_D(\id_D)$. Dovoljno je pokazati da preslikavanje $X : \alpha \mapsto X_\alpha$ $\mathrm{Nat}(h_D,P)\stackrel\cong\to P(D)$ ima inverz. Za svaki $y$ u $P(D)$ definiramo prirodnu transformaciju $e(y):h_D\Rightarrow P$ s komponentama $e(y)_C: (f\in h_D(C))\mapsto (P(f)(y)\in P(C))$ (sjetimo se da je $P$ kontravarijantan, dakle $P(f):P(D)\to P(C)$). Tada

$$e(X_\alpha)_C(f) = P(f)(\alpha_D(\id_D)) =\alpha_C \circ P(f)(\id_D) = \alpha_C\circ\id_C=\alpha_C,$$

$$X_{e(y)} = (e(y)_D)(\id_D)= P(\id_D)(y) = y.$$

Dakle, preslikavanja $y\mapsto e(y)$ i $\alpha\mapsto X_\alpha$ su jedan drugome inverzi.

Dijagrame prirodnosti ostavljamo čitatelju za provjeru.

Korolar. (Yonedina lema, slaba verzija) Yonedino ulaganje $h: D\mapsto h_D$ je potpun i vjeran funktor $h:\mathcal{D}\to\hat\mathcal{D}$.

Dokaz. U jakoj Yonedinoj lemi gore stavimo $P = h_C$. Tako dobivamo bijekciju $\mathrm{Nat}(h_D,h_C)\cong \mathcal{D}(D,C)$ za svaki par $C,D$, tj. funktor $D\mapsto h_D$ je ulaganje kategorija.

Primijetimo da se Yonedino ulaganje prirodno razlaže u kompoziciju $\mathcal{D}\stackrel{h^{\mathrm{sm}}}\longrightarrow\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow \hat\mathcal{D}$ gdje je $\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}$ kategorija malih predsnopova, a $\hat{\mathcal{D}}^{\mathrm{sm}}\hookrightarrow \hat\mathcal{D}$ kanonsko ulaganje. Naime svaki reprezentabilni snop je mali po definiciji.

Predsnop $F$ za koji postoji prirodni izomorfizan $h_D\cong F$ za neki objekt $D$, zove se reprezentabilan; par reprezentabilnog funktora i takvog izomorfizma se ponekad zove reprezentacija (funktora $F$). Često pod reprezentabilan funktor zapravo i mislimo reprezentaciju, jer je potonja terminologija manje raširena.

Reprezentacija funktora $F$ se može gledati i kao par $(D,u)$ gdje je $u\in F(D)$ element sa svojstvom da za svaki drugi objekt $E$ i element $z\in F(E)$ postoji jedinstveni morfizam $f:E\to D$ takav da je $F(f)(u) = z$. Zaista, formula $\alpha^u_E: f\mapsto F(f)(u)$, $\forall f\in h_D(E)$, zadaje bijektivnu komponentu prirodne transformacije $\alpha^u: h_D\to F$. Element $u$ se obično zove univerzalni element, a $D$ klasificirajući objekt za reprezentabilni funktor $F$. Npr. univerzalni svežanj nad klasificirajućem prostorom za funktor koji parakompaktu zadaje skup klasa izomorfizama glavnih (ili vektorskih) svežnjeva s danom strukturnom grupom.