Zoran Skoda
algebarska struktura

Neka je AA skup.

nn-arna algebarska operacija (kraće: nn-arna operacija) na skupu AA je funkcija s nn-terostrukog Kartezijevog produkta A×A××AA\times A\times \ldots\times A (nn puta) u AA. Parcijalna algebarska operacija na skupu AA je funkcija f:BAf: B\to A s nekog podskupa BB Kartezijevoh produkta A×A××AA\times A\times \ldots\times A (nn puta) u AA. Ako je ff nn-arna operacija na skupu AA, tada kažemo da je nn njena arnost.

Npr. 11-arna ili unarna operacija je funkcija AAA\to A.

22-arna ili binarna operacija je funkcija A×AAA\times A\to A. Ta funkcija se može pisati kao f:A×AAf : A\times A\to A dakle (x,y)f(x,y)(x,y)\mapsto f(x,y) ali još češće se oznaka piše između, tj. (x,y)xfy(x,y)\mapsto x f y, pogotovo ako su oznake simboli kao ,,+,,,,\bullet, \cdot, +, \otimes, \oplus, \circ, \triangleright i slične. Npr. :A×AA\bullet : A\times A\to A, zadan s :(a,b)(a,b)\bullet : (a,b)\mapsto \bullet(a,b) se može zadati i s :(a,b)ab\bullet : (a,b)\mapsto a\bullet b.

Pri tome je 00-struki Kartezijev produkt skup {*}\{*\} koji ima samo jedan element (engl. singleton) pa je nularna algebarska operacija funkcija koja tom jednom elementu zadaje element iz AA, dakle unarna operacija je jednostavno istaknuti (odabrani element) skupa AA.

Algebarska struktura se sastoji od skupa AA i nekog zadanog skupa algebarskih operacija na AA. Npr. skup prirodnih brojeva N\mathbf{N} se može promatrati kao algebarska struktura (N,+,)(\mathbf{N}, +,\cdot) s dvije operacije ++ i \cdot, obje binarne. Njihovu binarnost možemo naglasiti indeksom dolje: + 2+_2, 2\cdot_2. Spisak simbola operacija neke algebarske strukture, zajedno s njihovim arnostima zove se signatura. Tako je signatura od (N,+,)(\mathbf{N}, +,\cdot) uređeni par (+ 2, 2)(+_2,\cdot_2). Neka druga algebarska struktura može imati tu istu signaturu, mada simboli označavaju druge operacije na drugom skupu (ako je domena različita ni funkcije ne mogu biti jednake, a kako su operacije poseban tip funkcija to vrijedi i za njih). No one će opet biti dvije binarne operacije.

Binarna algebarska struktura ili magma je algebarska struktura čija signatura se sastoji od jednog binarnog simbola. Drugim riječima, magma je skup s jednom zadanom binarnom operacijom (koja je svuda definirana na tom skupu).

Termin magma pripada mitskom francuskom matematičaru Nicolasu Bourbakiju. Starija literatura koristi termin grupoid. Modernija literatura rezervira termin (povezani) grupoid za vrlo specifičan i važan tip parcijalne binarne algebarske strukture koja se nekad zvala Brandtov grupoid.

category: zadarmat4

Created on March 16, 2016 at 14:57:27. See the history of this page for a list of all contributions to it.