Zoran Skoda algebarska struktura

Neka je $A$ skup.

$n$-arna algebarska operacija (kraće: $n$-arna operacija) na skupu $A$ je funkcija s $n$-terostrukog Kartezijevog produkta $A\times A\times \ldots\times A$ ($n$ puta) u $A$. Parcijalna algebarska operacija na skupu $A$ je funkcija $f: B\to A$ s nekog podskupa $B$ Kartezijevoh produkta $A\times A\times \ldots\times A$ ($n$ puta) u $A$. Ako je $f$ $n$-arna operacija na skupu $A$, tada kažemo da je $n$ njena arnost.

Npr. $1$-arna ili unarna operacija je funkcija $A\to A$.

$2$-arna ili binarna operacija je funkcija $A\times A\to A$. Ta funkcija se može pisati kao $f : A\times A\to A$ dakle $(x,y)\mapsto f(x,y)$ ali još češće se oznaka piše između, tj. $(x,y)\mapsto x f y$, pogotovo ako su oznake simboli kao $\bullet, \cdot, +, \otimes, \oplus, \circ, \triangleright$ i slične. Npr. $\bullet : A\times A\to A$, zadan s $\bullet : (a,b)\mapsto \bullet(a,b)$ se može zadati i s $\bullet : (a,b)\mapsto a\bullet b$.

Pri tome je $0$-struki Kartezijev produkt skup $\{*\}$ koji ima samo jedan element (engl. singleton) pa je nularna algebarska operacija funkcija koja tom jednom elementu zadaje element iz $A$, dakle unarna operacija je jednostavno istaknuti (odabrani element) skupa $A$.

Algebarska struktura se sastoji od skupa $A$ i nekog zadanog skupa algebarskih operacija na $A$. Npr. skup prirodnih brojeva $\mathbf{N}$ se može promatrati kao algebarska struktura $(\mathbf{N}, +,\cdot)$ s dvije operacije $+$ i $\cdot$, obje binarne. Njihovu binarnost možemo naglasiti indeksom dolje: $+_2$, $\cdot_2$. Spisak simbola operacija neke algebarske strukture, zajedno s njihovim arnostima zove se signatura. Tako je signatura od $(\mathbf{N}, +,\cdot)$ uređeni par $(+_2,\cdot_2)$. Neka druga algebarska struktura može imati tu istu signaturu, mada simboli označavaju druge operacije na drugom skupu (ako je domena različita ni funkcije ne mogu biti jednake, a kako su operacije poseban tip funkcija to vrijedi i za njih). No one će opet biti dvije binarne operacije.

Binarna algebarska struktura ili magma je algebarska struktura čija signatura se sastoji od jednog binarnog simbola. Drugim riječima, magma je skup s jednom zadanom binarnom operacijom (koja je svuda definirana na tom skupu).

Termin magma pripada mitskom francuskom matematičaru Nicolasu Bourbakiju. Starija literatura koristi termin grupoid. Modernija literatura rezervira termin (povezani) grupoid za vrlo specifičan i važan tip parcijalne binarne algebarske strukture koja se nekad zvala Brandtov grupoid.

category: zadarmat4