Zoran Skoda
analitička geometrija

Analitička geometrija je pristup geometriji preko koordinatizacije prostora. Dakle, točke imaju koordinate i razni skupovi točaka opisani su jednadžbama. U modernoj analitičkoj geometriji Euklidskog prostora koriste se vektori, tako da je to zapravo geometrijski jezik linearne algebre.

Pravac u ravnini

Pravac u ravnini je opisan jednim uvjetom, dakle kao skup točaka (x,y)(x,y) u pravokutnom koordinatnom sustavu koje zadovoljavaju implicitnu jednadžbu pravca

Ax+By+C=0,A,B,C,A0iliB0. A x + B y + C = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A,B,C\in\mathbb{R},\,\,\, A\neq 0 \, ili \, B\neq 0.

Ukoliko cijelu jednadžbu pomnožimo s nekim brojem H0H\neq 0 dobivamo ekvivalentnu jednadžbu HAx+HBy+HC=0 H A x + H B y + H C = 0.

Pravci za koje je A=0A = 0 su oblika By+C=0B y + C = 0, dakle y=C/By = - C/B, drugim riječima yy je konstanta. To su horizontalni pravci. Ako je i C=0C = 0 pravac je os xx, dana s y=0y = 0.

Pravci za koje je B=0B = 0 su onlika Ax+C=0A x + C = 0, dakle x=C/Ax = - C/A, drugim riječima xx je konstanta. To su vertikalni pravci. Ako je i C=0C = 0 pravac je os yy, dana s x=0x = 0.

Ako je B0B\neq 0, tj. ako pravac nije vertikalan, tada implicitnu jednadžbu možemo zamijeniti ekvivalentnim uvjetom

y=ABxCB y = -\frac{A}{B} x - \frac{C}{B}

što je u obliku y=kx+ly = k x + l gdje su k=A/Bk = -A/B i l=C/Bl = -C/B realni brojevi. Jednadžba y=kx+ly = k x + l je jednadžba pravca u eksplicitnom obliku i može se koristiti samo za pravce koji nisu vertikalni (tj. paralelni osi yy). Broj kk zove se koeficijent smjera pravca i jednak je tangensu kuta između tog pravca i osi xx. Taj tangens se dobije i kao tangens kuta kod točke PP u bilo kojem pravokutnom trokutu s vrhovima P(x 1,y 1)P(x_1,y_1), R(x 2,y 1)R(x_2,y_1), Q(x 2,y 2)Q(x_2,y_2) u kojem su točke P,QP, Q na pravcu s x 1x 2x_1\neq x_2. Dakle, to je omjer

k=y 2y 1x 2x 1 k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Ako je xx proizvoljna točka na pravcu, tada ona mora zadovoljavati

yy 1xx 1=k, \frac{y-y_1}{x-x_1} = k,

dakle

yy 1=y 2y 1x 2x 1(xx 1) y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x - x_1)

Ta formula daje stoga jednadžbu pravca ako su zadane koordinate dviju različitih točaka na pravcu.

Vektor a=(a x,a y)\vec{a} = (a_x, a_y) je uzduž pravca pp akko se može predstaviti kao usmjerena dužina PQ\vec{P Q} gdje su PP i QQ na pravcu pp. Ako su A,B0A,B\neq 0 tada možemo uzeti npr. točke (0,C/B)(0,-C/B) i (C/A,0)(-C/A,0) pa je jedan takav vektor (C/A,C/B)(-C/A,C/B) ili njegov višekratnik (B,A)(-B,A).

Vektor n=(n x,n y)\vec{n} = (n_x,n_y) je okomit na pravac Ax+By+C=0A x + B y + C = 0 ako je okomit na svaki vektor uzduž tog pravca pa tako i na (x 2x 1,y 2y 1)(x_2-x_1,y_2-y_1), dakle skalarni umnožak n x(x 2x 1)+n y(y 2y 1)=0n_x (x_2-x_1) + n_y (y_2 - y_1) = 0. To vrijedi npr. za (n x,n y)(n_x,n_y) koji je višekratnik od (A,B)(A,B) jer A(x 2x 1)+B(x 2x 1)=0A (x_2 - x_1) + B (x_2 - x_1) = 0 jer možemo oduzeti identitete Ax 1+Bx 1+C=0A x_1 + B x_1 + C = 0 i Ax 2+Bx 2+CA x_2 + B x_2 + C koji vrijede jer obje točke (x 1,y 1)(x_1, y_1) i (x 2,y 2)(x_2,y_2) leže na pravcu pp. Da je (A,B)(A,B) okomit na pravac Ax+By+C=0A x + B y + C = 0 možemo vidjeti i primijetivši da je skalarni umnožak (A,B)(B,A)=0(A,B)\cdot (-B,A) = 0, a već smo prije ustanovili da je (B,A)(-B,A) vektor uzduž smjera pravca pp. Taj isti vektor je uzduž bilo kojeg paralelnog pravca. Dakle, ako je Ax+By+C=0A x + B y + C = 0 jednadžba pravca tada su svi njemu paralelni pravci oblika Ax+By+C=0A x + B y + C' = 0 gdje je CC' neka druga konstanta, a svi njemu okomiti pravci su oblika Bx+Ay+C=0-B x + A y + C'' = 0 gdje je CC'' još neka druga konstanta. U terminima koeficijenta smjera, paralelni pravci imaju isti koeficijent smjera, a okomiti pravci imaju koeficijente smjera koji su u odnosu k=1/kk' = -1/k.

Ponekad se koristi parametarska jednadžba pravca na ravnini. Dakle, točke pravca se napišu u bijektivnoj korespodenciji s točkama na brojevnom pravcu \mathbb{R}, tj. parametrima tt \in \mathbb{R}. Neka je r 0=(x 0,y 0)p\vec{r}_0 = (x_0,y_0)\in p neka točka na pravcu pp i a=(a x,a y)\vec{a} = (a_x,a_y) neki vektor uzduž pravca pp. Tada se sve točke r=(x,y,z)\vec{r} = (x,y,z) pravca pp mogu na jedinstven način napisati kao vrijednosti vektorske funkcije

r(t)=r 0+ta,\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a},

argumenta, odnosno parametra tRt\in\mathbf{R}. Vektorsku funkciju r=r(t)\vec{r} = \vec{r}(t) možemo zapisati u komponentama kao par skalarnih funkcija x=x 0+a xtx = x_0 + a_x t, y=y 0+a yty = y_0 + a_y t istog parametra tt. Bilo koji od tih oblika zovemo parametrizacijom ili parametarskom jednadžbom pravca u prostoru. Ako umjesto vektora a\vec{a} koristimo bilo koji višekratnik dobit ćemo isti skup točaka. Zaista ako je recimo a\vec{a} dva put veći, dakle 2a2\vec{a}, onda neku vrijednost r(t)=r 0+ta\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a} možemo zapisati kao vrijednost r(s)=r 0+s2a\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s\cdot 2\vec{a} za s=t/2s = t/2.

Kut između dva pravca se može dobiti npr. kao kut nekih vektora koji su uzduž tih pravaca. Ako su ti vektori a\vec{a} i b\vec{b} tada je (vidi skalarni umnožak)

cos(a,b)=abab=a xb x+a yb ya x 2+a y 2b x 2+b y 2 cos \angle(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}

Ravnina u prostoru

Svaka ravnina u prostoru dana je skupom točaka (x,y,z)(x,y,z) prostora koje zadovoljavaju jednadžbu

Ax+By+Cz+D=0, A x + B y + C z + D = 0,

gdje su A,B,C,DA,B,C,D\in\mathbb{R} konstante takve da je barem jedna od A,B,CA,B,C različita od 00. Ako je B=C=0B = C = 0 to je jednadžba ravnine koja je okomita na os xx, odnosno paralelna s yzy z-ravninom. Ravnina yzy z dana je jednadžbom x=0x = 0. Slično, xyx y ravnina je dana jednadžbom z=0z = 0 i xzx z ravnina jednadžbom y=0y = 0. Paralelne ravnine imaju trojku koeficijenata (A,B,C)(A,B,C) proporcionalne. Vektor (A,B,C)(A,B,C) je vektor normale, tj. vektor okomit na ravninu danu jednadžbom Ax+By+Cz+D=0A x + B y + C z + D = 0. Paralelne ravnine imaju vektore normale koji imaju isti smjer tj. jedan je višekratnik drugog.

Kako ravnina ima dvije dimenzije, možemo je parametrizirati s dva parametra. Neka je r 0\vec{r}_0 neka točka prostora i neka su a,b\vec{a},\vec{b} dva vektora u toj ravnini koja nemaju isti smjer. Tada je svaka točka ravnine oblika

r=r 0+λa+μb, \vec{r} = \vec{r}_0 + \lambda \vec{a} + \mu \vec{b},

odnosno u komponentama

x=x 0+λa x+μb x,y=y 0+λa y+μb y,z=z 0+λa z+μb z, x = x_0 + \lambda a_x + \mu b_x, \,\,\,y = y_0 +\lambda a_y + \mu b_y, \,\,\,z = z_0 +\lambda a_z + \mu b_z,

gdje su (λ,μ) 2(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2 parovi realnih brojeva. Dosta tipične oznake za parametre uz λ,μ\lambda,\mu su i s,ts,t.

Vektor normale na ravninu je okomit na svaki ne-nul vektor u toj ravnini, tj. skalarni umnožak im je jednak nuli. U prostoru postoji jedinstveni vektor normale, do na množenje skalarom različitim od nule. Kao vektor normale možemo uzeti vektorski umnožak a×b\vec{a}\times\vec{b} proizvoljna dva neproporcionalna vektora u ravnini.

Pravac u prostoru

Jedan način da se zada pravac u 3-dimenzionalnom prostoru je kao presjek dviju ravnine koje nisu međusobno paralelne. Sjetimo se aksioma stereometrije da ako dva pravca u 3d prostoru imaju zajedničku točku tada imaju i zajednički pravac, a po jednom drugom aksiomu ako imaju još koju točku van toga pravca tada su te dvije ravnine jednake. Dakle jedine mogućnosti su da se dvije ravnine ne sijeku, da su jednake ili da im je presjek točno jedan pravac (prva dva slučaja spadaju pod paralelnost ravnina).

Dakle, pravac je zadan implicitnim sustavom

Ax+By+Cz+D=0,Ax+By+Cz+D=0, A x + B y + C z + D = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A' x + B' y + C' z + D' = 0,

gdje vektor (A,B,C)(A,B,C) i vektor (A,B,C)(A',B',C') nisu međusobno proporcionalni i nisu nul-vektori.

Slično kao u slučaju ravnine, ponekad se koristi parametarska jednadžba pravca u prostoru. Dakle, točke pravca se napišu u bijektivnoj korespodenciji s točkama na brojevnom pravcu \mathbb{R}, tj. parametrima tt \in \mathbb{R}. Neka je r 0=(x 0,y 0,z 0)p\vec{r}_0 = (x_0,y_0,z_0)\in p neka točka na pravcu pp i a=(a x,a y,a z)\vec{a} = (a_x,a_y,a_z) neki vektor uzduž pravca pp. Tada se sve točke r=(x,y)\vec{r} = (x,y) pravca pp mogu na jedinstven način napisati kao vrijednosti jedne vektorske funkcije

r(t)=r 0+ta,\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a},

tj. kao trojku skalarnih funkcija

x=x 0+a xt,y=y 0+a yt,z=z 0+a zt.x = x_0 + a_x t,\,\,\,\,\,\,\,y = y_0 + a_y t,\,\,\,\,\,\,\,z = z_0 + a_z t.

Kako r\vec{r} sad zavisi od tt, nekad pišemo r(t)\vec{r}(t), pa je r: 3,tr(t)\vec{r}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3, t\mapsto \vec{r}(t) injekcija koju zovemo “parametrizacija pravca” (a izraze zovemo “parametarska jednadžba pravca”), a čija slika je sam pravac. Ako umjesto vektora a\vec{a} koristimo bilo koji višekratnik dobit ćemo isti skup točaka. Zaista ako je recimo a\vec{a} dva put veći, dakle 2a2\vec{a}, onda neku vrijednost r(t)=r 0+ta\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a} možemo zapisati kao vrijednost r(s)=r 0+s2a\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s\cdot 2\vec{a} za s=t/2s = t/2. Umjesto točke r 0\vec{r}_0 možemo uzeti neku drugu točku na pravcu. Neka su r 0\vec{r}_0 i r 1\vec{r}_1 dvije točke na pravcu, tada je vektor r 1r 0\vec{r}_1-\vec{r}_0 uzduž pravca. Dakle, ako je jedna jednadžba r=r 0+ta\vec{r} = \vec{r}_0 + t \vec{a}, tada za neki tt vrijedi jednakost r 1=r 0+ta\vec{r}_1 = \vec{r}_0 + t\vec{a}, tj. r 1r 0\vec{r}_1 - \vec{r}_0 je proporcionalno vektoru a\vec{a}.

Ako je a x,a y,a z0a_x,a_y,a_z\neq 0 tada možemo tt dobiti iz svake od gornje tri jednadžbe (kao funkcije od xx, yy odnosno zz) i kako je taj tt isti za svaku fiksiranu točku (x,y,z)(x,y,z) na pravcu to za svaku točku (x,y,z)(x,y,z) vrijedi jednadžba

xx 0a x=yy 0a y=zz 0a z. \frac{x - x_0}{a_x} = \frac{y - y_0}{a_y} = \frac{z - z_0}{a_z}.

O parametarskoj jednadžbi pravca možete pogledati i kratki video M. Kosora “Zadavanje pravca pomoću vektora. Primjer.” na https://www.youtube.com/watch?v=r5yw9y-JJ5M

O udaljenosti točke od pravca u prostoru možete pogledati video M. Kosora “Udaljenost točke i pravca” na https://www.youtube.com/watch?v=gFvo82jINqk.

Udaljenost dvaju mimoilaznih pravaca

Pravci u prostoru su mimoilazni ako se ne sijeku. Ako su r 1=(x 1,y 1,z 1),r 2=(x 2,y 2,z 2)\vec{r}_1=(x_1,y_1,z_1),\vec{r}_2 = (x_2,y_2,z_2) točke redom na mimoilaznim pravcima p,qp,q i dani neki nenul vektori a,b\vec{a},\vec{b} redom uzduž pravaca pp i qq, Pretpostavimo također da pp i qq nisu paralelni, tj. a\vec{a} i b\vec{b} nisu proporcionalni vektori. Tada vektor a,b\vec{a},\vec{b}, (r 2r 1)(\vec{r}_2-\vec{r}_1) možemo pričvrstiti u točku r 1\vec{r}_1 na pravcu pp i time smo dobili tri nekomplanarna vektora koji razapinju paralelepiped u prostoru. Ako a,b\vec{a},\vec{b} razapinju bazu tog paralelepipeda kao prizme, tada je volumen tog paralelepipeda površina te baze pomnožena s visinom. Lako se uvjerimo da je ta visina upravo duljina spojnice neke točke na pravcu pp s nekom točkom na qq koja je okomita na pravce pp i qq u tim točkama (jer je okomita na ravninu razapetu s a,b\vec{a},\vec{b}, a duljina te spojnice je upravo najkraća udaljenost između neke točke na pp i neke točke na qq, dakle udaljenost od pravca pp do pravca qq). Volumen računamo kao apsolutnu vrijednost mješovitog produkta (a×b)(r 2r 1)(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1), a površinu baze (paralelogram razapet na a,b\vec{a},\vec{b} kao duljinu a×b\|\vec{a}\times\vec{b}\| vektorskog umnoška a×b\vec{a}\times\vec{b}. Dakle, udaljenost je

d=|(a×b)(r 2r 1)|a×b d = \frac{|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1)|}{\|\vec{a}\times\vec{b}\|}

Za šire objašnjenje vidi Horvatićevu knjigu.

Kut između pravca i ravnine

Neka je MM ravnina u prostoru i pp pravac koji siječe tu ravninu. Kut između pp i MM je najveći od svih (šiljastih ili pravih) kuteva između pp i qq gdje je qq pravac u MM koji prolazi kroz sjecište AA pravca pp i ravnine MM. Dokazuje se da je taj maksimum dosegnut kad je qq ortogonalna projekcija pravca pp na MM, tj. kad je qq presječni pravac ravnine koja sadrži pp i normalu na MM kroz točku AA s ravninom MM. Drugim riječima za sve ravnine MM' koje sijeku MM i prolaze kroz pp kut između MpM'\cap p i pp dostiže maksimum točno kad je ravnina MM' okomita na MM (ravnina u 3d prostor je okomita na zadanu ravninu ako sadrži barem jedan pravac okomit na tu ravninu; tada u svakoj točki presjeka sa zadanom ravninom ta ravnina sadrži točno jednu okomicu na na zadanu ravninu kroz tu točku).

Kako se kut računa u ravnini koja uz pp sadrži i normalu, možemo primijetiti u toj ravnini da je komplement kuta izmedđu pravca i ravnine kut između pravca i okomice na ravninu. Dakle sinus kuta između pravca i ravnine je kosinus kuta između pravca i okomice na ravninu, a potonji se analitički dobije iz razmatranja skalarnog umnoška vektora uzduž zadanog pravca i vektora normale na ravninu.

Kružnica i sfera

Kružnica K(S,r)K(S,r) sa središtem S(x S,y S)S(x_S,y_S) s polumjerom r>0r\gt 0 u ravnini xyx y je geometrijsko mjesto točaka (x,y)(x,y) ravnine svih točaka čija udaljenost od središta SS je jednaka rr. Kako je r>0r\gt 0 to je d(P,S)=rd(P,S) = r ekvivalentno jednadžbi d 2(P,S)=r 2d^2(P,S) = r^2, odnosno

(xx S) 2+(yy S) 2=r 2. (x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 = r^2.

Ako je središte ishodište koordinatnog sustava tada je ta jednadžba naprosto x 2+y 2=r 2x^2 + y^2 = r^2. Slično tome, zatvoren krug je dan nejednadžbom x 2+y 2r 2x^2 + y^2 \leq r^2. Točke na kružnici možemo pisati i parametarski kao x=rcostx = r cos t, y=rsinty = r sin t gdje je 0t<2π0\leq t \lt 2\pi kut u radijanima (interpretiramo ga kao kut koji zatvara pozitivni polupravac osi xx i polupravac s vrhom u ishodištu koji prolazi kroz točku na kružnici).

Slično je sfera sa središtem S(x S,y S,z S)S(x_S,y_S,z_S) i polumjerom r>0r\gt 0 u prostoru geometrijsko mjesto točaka (x,y,z)(x,y,z) čija udaljenost od SS je rr, odnosno koje zadovoljavaju

(xx S) 2+(yy S) 2+(zz S) 2=r 2. (x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 + (z - z_S)^2 = r^2.

Slično je zatvorena kugla dana nejednadžbom (xx S) 2+(yy S) 2+(zz S) 2r 2(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 + (z - z_S)^2 \leq r^2.

category: zadarmat2, zadarmat4

Last revised on September 20, 2018 at 18:09:09. See the history of this page for a list of all contributions to it.