Zoran Skoda binomna i Poissonova razdioba

Binomna razdioba

Promatrajmo neki pokus u kojem promatramo pojavljivanje ili nepojavljivanje nekog obilježja. Neka je vjerojatnost pojavljivanja tog obilježja $p$ tada je vjerojatnost nepojavljivanja $q = 1 - p$.

Ponavljajmo taj pokus $n$ puta, u uvjetima u kojima jedan pokus ne utiče na drugi, tj. da je vjerojatnost (ne)pojavljivanja obilježja u svakom pokusu nezavisna. Kolika je vjerojatnost da se u $n$ pokusa, obilježje pojavi točno $m$ puta (za $0\leq m\leq n$). Vjerojatnost je

$$P(m) = B(n,p)(m) = \binom{n}{m} p^m (1-p)^{n-m}$$

Objašnjenje formule: Vjerojatnost da se $m$ pojavljivanja i $(n-m)$ nepojavljivanja desi u točno određenom poretku je $p^m (1-p)^{n-m}$ jer je to $n$ nezavisnih događaja čija vjerojatnost se množi, a ona je $p$ za pojavljivanje i $(n-m)$ za nepojavljivanje. No, postoji ukupno $\binom{n}{m}$ različitih poredaka na kojim mjestima se pojavi, a na kojem ne pojavi obilježje (zaista – biramo $m$ mjesta gdje se desi od ukupno $n$ mjesta, dakle to možemo na $\binom{n}{m}$ načina).

Funkcija vjerojatnosti $B(n,p): m\mapsto \binom{n}{m} p^m (1-p)^{n-m}$ zove se funkcija vjerojatnosti binomne razdiobe.

Očekivanje broja pojavljivanja obilježja je $E[m] = n p$.

Poissonova razdioba

Poissonova razdioba je granična vrijednost binomne razdiobe kada $n\to\infty$, a $p\to 0$, uz uvjet da umnožak $\lambda = n p$ bude stalan (konstantan).

Tu je opisana situacija takva da se u ma kojem malom intervalu $\delta_t$ obilježje pojavljuje s malom vjerojatnošću $r \delta_t$. Tada je vjerojatnost da se u intervalu duljine $t$ obilježje pojavi $m$ puta

$$P(m) = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}$$

gdje je $\lambda = r t$.

Očekivanje broja pojavljivanja obilježja je $\lambda$.

Mogli smo krenuti od slučaja kad je $t = 1$. Kako u praksi obično želimo da se $m$ puta obilježje pojavi u intervalu duljine $t$. Možemo smatrati kao da je to duljina $1$ u novim reskaliranim jedinicama. Kako je $t$ puta dulji interval, to znači da je gustoća pojavljivanja u novim jedinicama toliko puta veća. Dakle, u intervalu duljine $1$ u novim jedinicama imamo novi $\lambda' = \lambda t$.

Primjer

Ispred Markove kuće u prosjeku prođu 2 auta u 3 minute. Kolika je vjerojatnost da prođu 4 auta u slijedećih 5 minuta ?

Odgovor: pitanje se odnosi na interval od 5 minuta. Dakle $\lambda$ se odnosi na taj interval koji nas zanima. Možemo postaviti slijedeći razmjer:

$\lambda$ : 5 min = 2 auta : 3 min

Dakle, $\lambda= 2 \times 5/3 = 3.33$ auta. U prosjeku prođu 3.33 auta u 3 minute. Vjerojatnost da prođu $m = 4$ je, prema Poissonovoj razdiobi,

$$P(m) = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!} = \frac{3.33^4 * \exp(-3.33)}{4*3*2*1} = (122.96*0.035793)/24 = 0.18338$$

ili 18.338 posto.

Materijali drugih autora

Studentima mogu biti korisna i dva kratka predavanja o binomnoj distribuciji sa Sveučilišta Sjever na youtubeu yt1 (prvi dio, 12 min), yt2 (drugi dio, 8 min).