Zoran Skoda
cilindar preslikavanja

Neka je XfYX\stackrel{f}\to Y preslikavanje. Tada možemo XX identificirati s zatvorenim potprostorom X×{0}X×IX\times \{0\}\subset X\times I, te ff identificarati s preslikavanjem f:X×{1}Yf': X\times\{1\}\to Y, (x,1)f(x)(x,1)\mapsto f(x). Prostor X×I fYX\times I \cup_{f'} Y naziva se cilindar preslikavanja YY (engl. mapping cylinder) Cyl(f)\mathrm{Cyl}(f). Cilindar preslikavanja id X:XX\id_X:X\to X homeomorfan je s X×IX\times I, kojeg nazivamo i cilindar prostora XX. Nekad su konvencije takve da je f:X×{0}Yf':X\times\{0\}\to Y, u tom slučaju se cilindar u kojem je identifikacija kao prije za t=1t=1 zove okrenuti ili inverzni cilindar.

Univerzalno svojstvo istiska za cilindar kaže da za svaki prostor ZZ i preslikavavanja g 1:X×IZg_1: X\times I\to Z, g 2:YZg_2:Y\to Z takve da g 1(x,1)=g 2(f(x))g_1(x,1)=g_2(f(x)) za sve xXx\in X, postoji jedinstveno preslikavanje k:Cyl(f)Zk:Cyl(f)\to Z, takvo da je kompozicija X×ICyl(f)kZX\times I\rightarrow Cyl(f)\stackrel{k}\to Z jednaka g 1g_1 a kompozicija YCyl(f)kZY\to Cyl(f)\stackrel{k}\to Z jednaka g 2g_2.

Propozicija. Prirodno ulaganje j:YCyl(f)j:Y\to \mathrm{Cyl}(f) je homotopska ekvivalencija.

To prirodno ulaganje kompozicija je ulaganja YX×IYY\hookrightarrow X\times I\coprod Y i kvocijentnog preslikavanja X×IYX×I fYX\times I\coprod Y\to X\times I \cup_f Y.

Dokaz. jj je homotopska ekvivalencija jer možemo direktno konstruirati homotopski inverz. Homotopski inverz je dan s f˜:[x,t]f(x)\tilde{f}:[x,t]\mapsto f(x), gdje je [x,t][x,t] klasa elementa (x,t)X×I(x,t)\in X\times I. Očito je svaki element u Cyl(f)\mathrm{Cyl}(f) takvog oblika te f˜j=id Y\tilde{f}\circ j = \id_Y. S druge strane (jf˜)[x,t]=[f(x)](j\circ\tilde{f})[x,t] = [f(x)]. Homotopija H:Cyl(f)×IYH:\mathrm{Cyl}(f)\times I\to Y dana je s

H([x,t],τ)=[x,t+τ(1t)]. H([x,t],\tau) = [x,t+\tau(1-t)].

Lako se vidi da je H(,0)=id Cyl(f)H(-,0) = \id_{\mathrm{Cyl}(f)}, H(,1)=[f()]H(-,1)=[f(-)].

Theorem. Neprekidno preslikavanje i:AXi:A\to X jje kofibracija akko postoji retrakcija r:X×ICyl(f)r:X\times I\to Cyl(f) za kanonsko preslikavanje X×ICyl(f)X\times I \to Cyl(f).

Theorem. Neprekidno preslikavanje f:XYf:X\to Y je homotopska ekvivalencija akko je X=X×{1}X = X\times\{1\} deformacijska retrakcija cilindra Cyl(f)Cyl(f) preslikavanja ff.

Theorem. Ako je f:XYf:X\to Y neprekidno preslikavanje, kompozicija

Xσ 0X×I(σ 1) *(f)Cyl(f)X\stackrel{\sigma_0}\to X\times I\stackrel{(\sigma_1)_* (f)}\to Cyl(f)

je kofibracija. Nadalje, preslikavanje r:Cyl(f)Yr:Cyl(f)\to Y određeno s r([x,t])=f(x)r([x,t])= f(x) (za sve xXx\in X and tIt\in I) i r([y])=yr([y])=y (for yYy\in Y) je dobro definirana homotopska ekvivalencija

Kompozicija r(σ 1) *(f)σ 0=fr\circ (\sigma_1)_* (f)\circ \sigma_0 = f, dakle to daje razlaganje preslikavanja ff u kofibraciju i homotopsku ekvivalenciju.

Vidi također englesku verziju mapping cylinder (tamo je međutim konvencija da je (x,0)f(x)(x,0)\sim f(x)).

Last revised on December 8, 2009 at 15:49:30. See the history of this page for a list of all contributions to it.