Zoran Skoda
de Rhamov kompleks

Pretpostavljamo da znamo što je vanjska algebra (exterior algebra) i kotangencijalan svežanj (cotangent bundle).

Ako je XX glatka realna mnogostrukost označimo s T *XT^* X kotangentni svežanj od XX i T *X= n=0 nT *X\wedge^\bullet T^* X = \oplus_{n=0}^\infty \wedge^n T^* X njegova vanjska algebra; vanjsko množenje \wedge je definirano u svakom vlaknu. Glatki prerezi vanjske algebre nad UXU\subset X su diferencijalne forme nad UU. Tako dobijamo snop algebri C X nT *X:UC X ( nT *X,U)C^\infty_X \wedge^n T^* X : U\mapsto C^\infty_X(\wedge^n T^* X,U), i algebru globalnih prereza C ( nT *X)=ΓC X ( nT *X,X)=ΓC X ( nT *X)C^\infty (\wedge^n T^* X) = \Gamma C^\infty_X(\wedge^n T^* X,X) = \Gamma C^\infty_X(\wedge^n T^* X). Označavamo Ω n(X)=C ( nT *X)\Omega^n(X) = C^\infty(\wedge^n T^* X) i Ω (X)= n=0 dimXΩ n(X)\Omega^\bullet(X) = \oplus_{n = 0}^{dim X} \Omega^n(X). Prema iskazanom, Ω (X)\Omega^\bullet(X) je graduirana algebra.

Teorem. Postoji jedinstveno R\mathbf{R}-linearno preslikavanje d:Ω (X)Ω +1(X)d: \Omega^\bullet(X)\to\Omega^{\bullet+1}(X) stupnja +1, takvo da je

(i) d(f)=dfd(f) = d f (dfd f je diferencijal funkcije) kad je fC (X)=Ω 0(X)f\in C^\infty(X) = \Omega^0(X)

(ii) d(ων)=dων+(1) degωωdνd(\omega\wedge\nu) = d\omega \wedge \nu + (-1)^{deg \omega}\omega\wedge d\nu (Leibnizovo pravilo za graduiranu derivaciju)

(iii) d(df)=0d(d f) = 0 za fC (X)f\in C^\infty(X).

Pokazuje se da takvo jedinstveno preslikavanje dd postoji i da je d 2=0d^2 = 0 na cijelom Ω (X)\Omega^\bullet(X). Dokaz ima u Spivaku, Sternbergu itd. gdje se pokazuje da u lokalnoj karti ova pravila forsiraju formulu na općoj diferencijalnoj formi, koja je u koordinati konačna suma k=0 dimX 1i 1<i 2<<i knα i 1,,i k(x)dx i 1dx i k\sum_{k=0}^{dim X} \sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_k\leq n} \alpha_{i_1,\ldots, i_k}(x) d x^{i_1}\wedge\ldots\wedge d x^{i_k} i da te formule dobro lijepljenjem definiraju globalni operator dd. Diferencijalna graduirana algebra (Ω (X),d)(\Omega^\bullet(X),d) se zove de Rhamov kompleks kolanaca. Homologija tog kompleksa kolanaca je de Rhamova kohomologija mnogostrukosti XX. De Rhamova kohomologija H DR *(X)H_{DR}^*(X) ima induciranu strukturu graduirane algebre nad realnim brojevima, nasljeđenu od \wedge-produkta na de Rhamovom kompleksu. De Rhamov teorem kaže da postoji izomorfizam graduiranih algebri između de Rhamove kohomologije i Čechove kohomologije s realnim koeficijentima H DR *(X)Hv *(X,R)H_{DR}^*(X)\cong \stackrel{v}{H}^*(X,\mathbf{R}) (odnosno, sa singularnom kohomologijom s realnim koeficijentima).

Ako je f:XYf: X\to Y glatko preslikavanje, tada ff inducira pullback Ω (f)=f *:Ω (Y)Ω (X)\Omega^\bullet(f) = f^* :\Omega^\bullet(Y)\to \Omega^\bullet(X) diferencijalnih graduiranih algebri, tj. Ω \Omega^\bullet postaje kontravarijantni funktor iz glatkih mnogostrukosti u diferencijalne graduirana algebre.

Last revised on February 13, 2012 at 17:03:15. See the history of this page for a list of all contributions to it.