Zoran Skoda de Rhamov kompleks

Pretpostavljamo da znamo što je vanjska algebra (exterior algebra) i kotangencijalan svežanj (cotangent bundle).

Ako je $X$ glatka realna mnogostrukost označimo s $T^* X$ kotangentni svežanj od $X$ i $\wedge^\bullet T^* X = \oplus_{n=0}^\infty \wedge^n T^* X$ njegova vanjska algebra; vanjsko množenje $\wedge$ je definirano u svakom vlaknu. Glatki prerezi vanjske algebre nad $U\subset X$ su diferencijalne forme nad $U$. Tako dobijamo snop algebri $C^\infty_X \wedge^n T^* X : U\mapsto C^\infty_X(\wedge^n T^* X,U)$, i algebru globalnih prereza $C^\infty (\wedge^n T^* X) = \Gamma C^\infty_X(\wedge^n T^* X,X) = \Gamma C^\infty_X(\wedge^n T^* X)$. Označavamo $\Omega^n(X) = C^\infty(\wedge^n T^* X)$ i $\Omega^\bullet(X) = \oplus_{n = 0}^{dim X} \Omega^n(X)$. Prema iskazanom, $\Omega^\bullet(X)$ je graduirana algebra.

Teorem. Postoji jedinstveno $\mathbf{R}$-linearno preslikavanje $d: \Omega^\bullet(X)\to\Omega^{\bullet+1}(X)$ stupnja +1, takvo da je

(i) $d(f) = d f$ ($d f$ je diferencijal funkcije) kad je $f\in C^\infty(X) = \Omega^0(X)$

(ii) $d(\omega\wedge\nu) = d\omega \wedge \nu + (-1)^{deg \omega}\omega\wedge d\nu$ (Leibnizovo pravilo za graduiranu derivaciju)

(iii) $d(d f) = 0$ za $f\in C^\infty(X)$.

Pokazuje se da takvo jedinstveno preslikavanje $d$ postoji i da je $d^2 = 0$ na cijelom $\Omega^\bullet(X)$. Dokaz ima u Spivaku, Sternbergu itd. gdje se pokazuje da u lokalnoj karti ova pravila forsiraju formulu na općoj diferencijalnoj formi, koja je u koordinati konačna suma $\sum_{k=0}^{dim X} \sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_k\leq n} \alpha_{i_1,\ldots, i_k}(x) d x^{i_1}\wedge\ldots\wedge d x^{i_k}$ i da te formule dobro lijepljenjem definiraju globalni operator $d$. Diferencijalna graduirana algebra $(\Omega^\bullet(X),d)$ se zove de Rhamov kompleks kolanaca. Homologija tog kompleksa kolanaca je de Rhamova kohomologija mnogostrukosti $X$. De Rhamova kohomologija $H_{DR}^*(X)$ ima induciranu strukturu graduirane algebre nad realnim brojevima, nasljeđenu od $\wedge$-produkta na de Rhamovom kompleksu. De Rhamov teorem kaže da postoji izomorfizam graduiranih algebri između de Rhamove kohomologije i Čechove kohomologije s realnim koeficijentima $H_{DR}^*(X)\cong \stackrel{v}{H}^*(X,\mathbf{R})$ (odnosno, sa singularnom kohomologijom s realnim koeficijentima).

Ako je $f: X\to Y$ glatko preslikavanje, tada $f$ inducira pullback $\Omega^\bullet(f) = f^* :\Omega^\bullet(Y)\to \Omega^\bullet(X)$ diferencijalnih graduiranih algebri, tj. $\Omega^\bullet$ postaje kontravarijantni funktor iz glatkih mnogostrukosti u diferencijalne graduirana algebre.