Tema ponuđena za diplomski: Kohomologija snopova
Voditelj: doc. dr. Zoran Škoda, zskoda@irb.hrnoSpam
Smjer: diplomski studij teorijske matematike
Web: http://ncatlab.org/nlab/new/diplomski+kohomologija+snopova
Vidi takodjer stranicu za studente koji traže mentorstvo.
Snopovi su uvedeni radi povezivanja lokalnih i globalnih svojstava u geometriji, a danas se uporebljavaju u raznim područjima matematike. Sredinom 20-tog stoljeća uveden je pristup geometriji prostora sa strukturom, kao topološkog prostora na kojem je zadan strukturni snop onog tipa funkcija koje su prilagodjene danom tipu geometrije, npr. analitičke, neprekidne, ili recimo racionalne funkcije. Najvažnije invarijante snopova su njihove kohomologije. Pravo značenje uloge kohomologije je povijesno bilo nejasno, a potpuno se razjasnilo tek u najnovije vrijeme.
U ovom diplomskom napravili bi se osnovni koncepti o snopovima ne samo na topološkim prostorima, nego i na Grothendieckovim sajtovima, što je samo malo apstraktnije, a ima veliku primjenu. Kohomologije snopova bi se definirale u nekoliko varijanti, tj. kao izvedenog funktora te u Čechovom pristupu. Pri tome treba uvesti nekoliko osnovnih konstrukcija iz homološke algebre te radi sustavnog pristupa, razumjeti pojam simplicijalnog skupa. Kod prve kohomologije napravit će se i neabelov slučaj: prva neabelova kohomologija klasificira glavne svežnjeve. Student će pri tom razumjeti pojmove klasificirajućeg prostora, reprezentabilnog funktora i univerzalnog svežnja.
Sheaves are introduced to relate local and global properties in geometry; today they are used widely in mathematics. In the middle of 20th century, a concept of a space with structure emerged as a topological space equipped with a structure sheaf of functions adapted to a kind of geometry, for example, analytic, continuous and rational functions. The most important invariants of sheaves are their cohomologies. The real role of cohomology has not been clear historically, but only very recently.
In this diploma work, a student should learn the most basic concepts on sheaves not only on topological spaces, but on Grothendieck sites as well, what is just a bit more abstract, but opens door to wide applications. Sheaf cohomologies will be defined in several variants, as a derived functor and in Čech approach. In this, one should introduce several basic constructions from homological algebra, and for the purposes of systematic approach a concept of simplicial set. For the first cohomology we should add also a nonabelian case: the first cohomology classifies principal bundles. In doing this, the student will understand the concepts of a classifying bundle, representable functor and a universal bundle.
Zoran Škoda, Snopovi, Bilješke/skripta dijela poslijediplomskog kolegija 2008/2009
S. Gelfand, Yu. Manin, Methods of homological algebra, gl. I, gl. II, i par. III.8
R. Hartshorne, Algebraic geometry, glava 2 i dio glave 3
Ieke Moerdijk, Introduction to the language of stacks and gerbes, arxiv:math.CT/0212266
M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and sheaves
S. MacLane, I. Moerdijk, Sheaves in geometry and logic
Goldblatt, Topoi
Last revised on December 14, 2010 at 20:58:54. See the history of this page for a list of all contributions to it.