Zoran Skoda diplomski kvazideterminante

Determinanta matrice je polinom u članovima matrice koji je koristan koncept ukoliko su članovi matrice brojevi ili, općenitije, elementi komutativnog prstena s jedinicom. Važne su veze s vanjskom algebrom, s problemom rješavanja linearnih jednadžbi (Cramerovo pravilo) i problemom inverza matrice. Ukoliko promatramo linearne jednadžbe nad nekomutativnim prstenom (npr. tijelom) Gaussova metoda eliminacije i dalje funkcionira što ukazuje na mogućnost razvoja teorije i u tom slučaju. Međutim, pokušaj rješavanja Cramerovim pravilom ne radi ukoliko se definicija determinante naivno proširi na taj slučaj. Oko 1989. Izrael Geljfand i Vladimir Retah nalaze da je u nekomutativnom slučaju bolje promatrati neke racionalne izraze čiji umnošci u komutativnom slučaju imaju veze s determinantama, a općenito odgovaraju inverzima članova transponirane inverzne matrice. Standardna definicija kvazideterminanti je preko rekurzivnih formula poznatih iz promatranja Schurovog komplementa u numeričkoj analizi, a standardna domena u kojoj se kvazideterminante promatraju je slobodno tijelo prema Amitsuru i Cohnu. Kvazideterminante imaju jako dobra svojstva, ponekad i jednostavnija nego determinante. Npr. nasljedivost je svojstvo da kvazideterminante možemo računati i tako da matricu podijelimo na blok podmatrice i računamo najprije njihove kvazideterminante što reducira veličinu matrice, a poslije toga kvazideterminante dobivenih izraza. Inženjeri znaju taj trik u vidu formula za inverz $2\times 2$ blok matrice

Diplomski će izložiti osnovne koncepte o kvazideterminantama s dokazima. Ova tema je dosta direktna (većinom elegantni računi i indukcija) pa samim time nije teška. Ambiciozniji student može diplomski znatno proširiti primjerima i primjenama kojih u literaturi ima jako mnogo. Ukoliko student ima afiniteta prema kombinatorici moguća je i diskusija veza s teorijom (nekomutativnih) simetričnih funkcija.

CRM skripta Retakha-Wilsona je vrlo čitljiva, a dokazi eksplicitni.

Dodatak: Izvorni radovi o ovoj temi nisu naročito pažljivi u specijalizaciji rezultata za prstene koji nisu slobodno tijelo. Iako pojam racionalnih identiteta strogo definira smisao rezultata u tom slučaju, eventualno nepostojanje nekih izraza koji imaju smisla u slobodnom polju, a ne u nekom konkretnom prstenu, ukoliko su korišteni u dokazu, dovodi u pitanje primjenu rezultata na takve prstenove. Uz pomoć mentora mogu se eventualno diskutirati i neki takvi slučajevi.

• I. M. Gel’fand, V. S. Retakh, Determinants of matrices over noncommutative rings, Funkc. analiz i ego priloženija 25 (1991), no.2, str. 91–102. engl. prijevod Funct.Anal.Appl. 21 (1991) str. 51–58.
• V. Retakh, R. L. Wilson, Advanced course on quasideterminants and universal localization, Notes of the course, 124 str., CRM, Barcelona, 2007 pdf
• D.Krob, B.Leclerc, Minor identities for quasi-determinants and quantum determinants, Comm.Math.Phys. 169 (1995) str. 1–23.
• Z. Škoda, Noncommutative localization in noncommutative geometry (Chapter 16: Quasideterminants and Cohn localization), London Math. Society Lecture Note Series 330, ed. A. Ranicki; str. 220–313, arXiv:math.QA/0403276