Zoran Skoda hom kvantne grupe

Prijedlog za napredni poslijediplomski kolegij, 60 sati, 2013/2014

http://ncatlab.org/zoranskoda/show/hom+kvantne+grupe

Potrebno predznanje: linearna algebra, slobodno baratanje definicijom i primjerima pojmova: prsten, modul, asocijativna algebra, Liejeva algebra, kategorija, funktor, adjungirani funktor, tenzorski produkt, univerzalna omotačka algebra, konvergencija u topološkim prostorima, diferencijalna mnogostrukost, tangencijalni i kotangencijalni prostor, vektorsko polje, Liejeva grupa, vektorski svežanj

Opis. Kvantne grupe su Hopfove algebre koje su deformacije algebre funkcija na Liejevoj grupi ili, dualno, deformacije univerzalne omotačke algebre pripadne Liejeve algebre. Te deformacija otkrivene su 80-tih godina i brzo našle primjene u niskodimenzionalnoh topologiji, klasičnoj Liejevoj teoriji, integrabilnim sustavima, strukturi podfaktora von Neumannovih algebri, konformnoj teoriji polja. Kolegij će nužno biti ograničen na samo neke aspekte tog opsežnog područja, i uglavnom zadržati na algebarskom pristupu (glavni izuzetak je malo diferencijalne geometrije u poglavlju o kvaziklasičnom limesu).

1. Uvod u Hopfove algebre (asocijativne algebre, koalgebre, bialgebre, Hopfove algebre, konačni dual, tenzorski i kontenzorski produkti, koprstenovi, moduli, komoduli, Hopfovi moduli; osnovni primjeri kao konvolucijska i grupovna algebra konačne grupe, Sweedlerova Hopfova algebra, univerzalna omotačka algebra Liejeve algebre, kvantno udvojenje, pojam monoidalne kategorije i internih (ko)algebri)

2. Komodulne algebre i Maninov pristup kvantnim linearnim grupama; kvantne determinante i minori, Bergmannova dijamantska lema, Gaussovi binomni koeficijenti, kvantna Borelova podgrupa

3. Kvantna Yang-Baxterova jednadžba i FRT-pristup kvantnim grupama: algebre $A(R), B(R)$, fundamentalna reprezentacija od $A(R)$, L-funkcionali, Woronowiczeve algebre, realne forme i Haarova mjera, kvazitriangularne Hopfove algebre, grupa Artinovih pletenica, pleteničaste monoidalne kategorije

4. Drinfeljd-Jimbove kvantne omotačke algebre $U_h(G)$, njena racionalna forma $U_q(G)$, neke reprezentacije za generički $q$

5. Kvaziklasični limes kvantnih grupa: Lie-Poissonove grupe, Liejeve bialgebre, deformacijska kvantizacija, deformacija asocijativnih bialgebri, Drinfeljdovo zakretanje (twist), Liejevi grupoidi i Liejevi algebroidi, tangentni Liejev algebroid, Hopfovi algebroidi

6. Integralna forma kvantne omotačke algebre, veze s quiverima, Hallova algebra; specijalizacije kvantne grupe za $q$ primitvni $l$-ti korijen iz jedinice i neke nerazložive reprezentacije; kvantna dimenzija i kvantni trag, element trake (ribbon element); neki rezultati G. Lusztiga; kvantna Weylova grupa

7. Dublji aspekti kategorija (ko)modula. Tannakina dualnost (ukratko). Centar monoidalne kategorije, Yetter-Drinfeljdov moduli, relativni Hopfovi moduli, modulne algebre, koinvarijante u komodulnim algebrama,Hopf-Galoisova teorija, zgnječeni produkt, ukriženi produkt, Schneiderov teorem o silasku, kvantni homogeni prostori, uloga koprstena

8. Odabrane primjene (ovisi o slušačima, npr. invarijante čvorova i linkova, Iwahori-Heckeova i BWM algebra, Knjižnik-Zamolodčikova koneksija i Drinfeljd-Kohnov teorem, kvantni prostori zastava, kvantizirana harmonijska analiza, diferencijalni račun na kvantnim grupama, kanonske baze, veze s konformnom teorijom polja, Connes-Moscovici Hopfov algebroid, dg-Hopfove algebre i zakrenuti kociklusi…)

Ispit je kombinacija zadaća i seminarskog rada.

Osnovna literatura

• Shahn Majid, Foundations of quantum group theory, Cambridge University Press 1995, 2000.

• Arun Ram, A survey of quantum groups: background, motivation, and results, in: Geometric analysis and Lie theory in mathematics and physics, A. Carey and M. Murray eds., Australian Math. Soc. Lecture Notes Series 11, Cambridge Univ. Press 1997, pp. 20-104. pdf

• A. U. Klymik, K. Schmuedgen, Quantum groups and their representations, Springer 1997.

• V. Chari, A. Pressley, A guide to quantum groups, Camb. Univ. Press 1994

Dopunska literatura

• Vladimir Drinfel’d, Quantum groups, Proceedings of the International Congress of Mathematicians 986, Vol. 1, 798–820, AMS 1987, djvu:1.3M, pdf:2.5M

• Pierre Cartier, A primer on Hopf algebras, IHES 2006, 81p, pdf

• Yuri Manin, Quantum groups and non-commutative geometry, CRM, Montreal 1988.

• Susan Montgomery, Hopf algebras and their action on rings, AMS 1994, 240p.

• Gabi Böhm, Hopf algebroids, in: Handbook of algebra, arxiv/0805.3806

• Janez Mrčun, Ieke Moerdijk, Introduction to foliations and Lie groupoids, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 91, Cambridge University Press 2003. x+173 pp.

• L. I. Korogodski, Ya. S. Soibelman, Algebras of functions on quantum groups I, Math. Surveys and Monographs 56, AMS 1998.

• George Lusztig, Introduction to quantum groups