Zoran Skoda
hom11 sajtovi

Grothendieckove predtopologije

Grothendieckova predtopologija na kategoriji CC s povlacima (pullbacks) je klasa τ\tau istaknutih porodica morfizama oblika {X αX} α\{ X_\alpha\to X\}_\alpha, tj. gdje svi u jednoj porodici imaju istu domenu, koje zadovoljavaju slijedeće aksiome

(i) (identiteta) Za svaki objekt XX, {Xid XX}τ\{X\stackrel{id_X}\longrightarrow X\}\in \tau

(ii) (stabilnost na povlake) Ako je 𝒰={U αf αU} ατ\mathcal{U} = \{U_\alpha\stackrel{f_\alpha}\longrightarrow U\}_\alpha\in\tau g:VUg: V\to U proizvoljni morfizam, tada je g *𝒰={g *U αg *(f α)U} α={U α× UVV} ατg^*\mathcal{U} = \{g^* U_\alpha\stackrel{g^*(f_\alpha)}\longrightarrow U\}_\alpha = \{ U_\alpha\times_U V\longrightarrow V\}_\alpha\in \tau

(iii) (tranzitivnost) Ako je {f α:U αU} αAτ\{f_\alpha: U_\alpha\to U\}_{\alpha\in A}\in\tau i αA\forall \alpha\in A {g αβ:V αβU α} βB ατ\{g_{\alpha\beta}: V_{\alpha\beta}\to U_\alpha\}_{\beta\in B_\alpha}\in\tau, tada je i {f αg αβ:V αβU} αA,βB ατ\{f_\alpha\circ g_{\alpha\beta}:V_{\alpha\beta}\to U\}_{\alpha\in A,\beta\in B_\alpha}\in\tau.

Porodice koje su elementi u τ\tau zovu se pokrivači. Ako je 𝒰={f α:U αU}\mathcal{U} = \{f_\alpha:U_\alpha\to U\} pokrivač čiji morfizmi imaju kodomenu UU, kažemo da je 𝒰\mathcal{U} pokrivač od UU.

Neka je i:ZXi:Z\to X izomorfizam. Tada je dijagram

Z i X i id X id X\array{ Z &\stackrel{i}\to & X\\ i\downarrow & &\downarrow id\\ X &\stackrel{id}\to & X }

kartezijev. Kako je {id X}τ\{id_X\}\in\tau po (i), tada i skup kojemu je jedini element povlak i:ZXi:Z\to X po (ii) također u τ\tau. Dakle (i) i (ii) impliciraju

(i)‘ ako je i:ZXi:Z\to X izo tada je jednočlan skup {i}\{i\} pokrivač od XX.

Neka je DD kategorija s malim limesima, a (C,τ)(C,\tau) kategorija s povlacima i sa zadanom Grothendieckovom topologijom. Snop FF na (C,τ)(C,\tau) s vrijednostima u DD, je kontravarijantni funktor F:C opDF:C^{op}\to D takav da je za svaki pokrivač 𝒰={f α:U αU} α\mathcal{U} = \{f_\alpha:U_\alpha\to U\}_\alpha dijagram

ujednačitelj, gdje je p 1: αβU α× UU β γU γp_1: \prod_{\alpha\beta}U_\alpha\times_U U_\beta \to \prod_\gamma U_\gamma jedinstveni morfizam u CC takav da za sve γ\gamma vrijedi p 1γ=p γp 1p_{1\gamma} = p_\gamma\circ p_1, a p 2p_2 je analogno karakteriziran s p 2γ=p γp 2p_{2\gamma} = p_\gamma\circ p_2, pri čemu su p γ: αU αU γp_\gamma: \prod_\alpha U_\alpha\to U_\gamma, p 1γ,p 2γ: αβU α× UU βU γp_{1\gamma}, p_{2\gamma}:\prod_{\alpha\beta} U_\alpha\times_U U_\beta \to U_\gamma kanonske projekcije (1 i 2 se odnosi na prvi i drugi faktor kod fibriranog produkta, a γ\gamma na indeks projekcije unutar običnog produkta).

Grothendieckove topologije

Rešeto (ili sito, franc. scrible, engl. sieve) na objektu UU u CC je skup morfizama S={f α:U αU} αS = \{f_\alpha:U_\alpha\to U\}_\alpha s istom kodomenom sa svojstvom da ako je f αSf_\alpha\in S, i gf αg\circ f_\alpha definirano, tada je gf αSg\circ f_\alpha\in S (“desni ideal”). Ako igla prođe kroz rupu sita, tada i konac kojeg vuče prođe kroz sito.

Ekvivalentno, oni morfizmi rešeta SS na UU čija domena je neki U αU_\alpha čine podskup S(U α)Hom C(U α,U)S(U_\alpha)\subset Hom_C(U_\alpha,U). Rešeto je zadano ako za svaki U αU_\alpha znamo koje elemente odabrati u Hom C(U α,U)Hom_C(U_\alpha,U). Ako je g:VU αg:V\to U_\alpha tada je f αg=Hom(g,U)(f α)f_\alpha\circ g = Hom(g,U)(f_\alpha), tj. odabir u raznim U αU_\alpha je funktorijalan u smislu da je SS podfunktor reprezentabilnog funktora h U=Hom(,U)h_U = Hom(-,U). Dakle, možemo reći da su rešeta na UU ništa drugo nego podfunktori reprezentabilnog funktora h Uh_U.

Ako je SS rešeto na UU i g:VUg: V\to U morfizam, tada je povlak g *(S)={h:XV,XObC,ghS}g^*(S) = \{h:X\to V, X\in Ob C, g\circ h\in S\} rešeto na VV. Ako k:WVk:W\to V tada vrijedi k *g *(S)=(kg) *(S)k^* g^* (S) = (k\circ g)^*(S) i (id) *(S)=S(id)^*(S)=S.

Grothendieckova topologija na maloj kategoriji CC je funkcija JJ koja svakom objektu UU u CC pridružuje neku porodicu nepraznih rešeta J UJ_U na UU, koje zovemo pokrivajuća rešeta, pri čemu vrijedi

(i) (maksimalno rešeto) h UJ Uh_U\in J_U,

(ii) (stabilnost) ako je SJ US\in J_U tada je i g:VUg: V\to U morfizam, tada je restrikcija g *(S)={h:XV,XObC,ghS}J Vg^*(S) = \{h:X\to V, X\in Ob C, g\circ h\in S\}\in J_V,

(iii) (tranzitivnost) ako je SJ US\in J_U pokrivajuće rešeto i RR proizvoljno rešeto na UU takvo da je za svaki h:VUh:V\to U, hSh\in S, restrikcija h *(R)J Vh^*(R)\in J_V, tada i RJ UR\in J_U.

Grothendieckov sajt je uređeni par (C,J)(C,J) male kategorije CC i Grothendieckove topologije JJ na CC.

(ii) i (iii) povlače

(iv) ako su R,SJ UR,S\in J_U tada je i RSJ UR\cap S\in J_U.

Zaista, ako je kRk\in R, k:VUk:V\to U, tada po stabilnosti (ii) k *(S)={h:XV,XObC,khS}J Vk^*(S) =\{h:X\to V, X\in Ob C, k\circ h\in S\}\in J_V. Kako je SS rešeto, to je i khRk\circ h\in R automatski, pa je khRSk\circ h\in R\cap S akko khSk\circ h\in S, tj. k *(S)=k *(RS)k^*(S)=k^*(R\cap S). Kako to vrijedi za sve kRk\in R, i RJ UR\in J_U je pokrivajuće, to je po (iii) RSJ UR\cap S\in J_U.

Uz malo dodatne pažnje, mogu se, naravno, gledati i topologije na velikim kategorijama.

Snopovi na sajtovima

Neka je PP predsnop skupova na CC. Kako je rešeto SS na UU podfunktor od h Uh_U, to ima smisla govoriti o prirodnim transformacijama SPS\Rightarrow P. Kažemo da je PP snop na sajtu (C,J)(C,J) ako za svako pokrivajuće rešeto SS od UU svaka prirodna transformacija α:SP\alpha:S\Rightarrow P (koju zovemo poklapajuća porodica) ima jedinstveno proširenje na prirodnu transformaciju α˜:h UP\tilde{\alpha}:h_U\to P (proširenje znači da je kompozicija Sh Uα˜PS\hookrightarrow h_U\stackrel{\tilde\alpha}\longrightarrow P jednaka α\alpha). Ako proširenje postoji samo za neke poklapajuće porodice, ali je za svaku od njih jedinstveno, govorimo o separiranom predsnopu (ili, monopredsnopu). Ako proširenje postoji za sve poklapajuće porodice, ali nije nužno jedinstveno, govorimo o epipredsnopu.

Tu definiciju treba objasniti. Komponente α V:S(V)P(V)\alpha_V:S(V)\to P(V) poklapajuće porodice su funkcije (preslikavanja skupova) koje svakom morfizmu k:VUk:V\to U iz SS zadaju jedan prerez x k=α V(k)P(V)x_k = \alpha_{V}(k)\in P(V), pri čemu prirodnost kaže x kl=P(l)(x k)x_{k\circ l} = P(l)(x_k) za sve morfizme ll, domk=codldom k=cod l. Amalgam poklapajuće porodice x kx_k je element xP(U)x\in P(U) takav da je P(k)(x)=x kP(k)(x)=x_k kS\forall k\in S. Snopovski uvjet se može izraziti kao uvjet da je dijagram

ujednačitelj skupova UObC\forall U\in Ob C SJ U\forall S\in J_U.

Snopifikacija

Kao i kod običnih topoloških prostora, snopifikacija a(P)a(P) predsnopa PP je snop a(P)a(P) zajedno s morfizmom predsnopova (prirodnom transformacijom) Pιa(P)P\stackrel{\iota}\Rightarrow a(P) takvim da za svaki morfizam α:PF\alpha: P\Rightarrow F gdje je FF snop, postoji jedinstveni morfizam snopova β:a(P)F\beta: a(P)\Rightarrow F tako da je βι=α\beta\circ\iota = \alpha.

U slučaju predsnopova skupova na Grothendieckovom sajtu definirat ćemo konstrukciju +:PP ++:P\mapsto P^+ koja je endofunktor na kategoriji predsnopova, i takvu da je za svaki predsnop PP, predsnop P +P^+ separirani, a za svaki separirani predsnop PP, P +P^+ je snop; dakle, za svaki predsnop PP je P ++P^{++} snop. Zapravo, plus konstrukcija dolazi zajedno s prirodnom transformacijom η:idid +\eta:id\mapsto id^+, čija je komponenta η P:PP +\eta_P: P\to P^+ mono (epi) onda i samo onda ako je PP separirani predsnop (epipredsnop); dakle izo akko je PP snop.

P +(U)=colim RJ UNat(R,P) P^+(U) = colim_{R\in J_U} Nat(R,P)

Sjetimo se da je Nat(R,P)Nat(R,P) zapravo skup svih poklapajućih porodica za RR. Kod računanja kolimesa, gledamo klice, odnosno klase ekvivalencije poklapajućih porodica x={x k,kR}\mathbf{x} = \{ x_k, k\in R\}, za pokrivajuća rešeta, gdje xy={x k,kS}\mathbf{x}\sim \mathbf{y}=\{ x_k, k\in S\} ako postoji profinjenje TRST\subset R\cap S, tako da za sve lTl\in T, x l=y lx_l = y_l. Skupovi klica zajedno čine predsnop s obzirom na slijedeću restrikciju. Neka je h:VUh:V\to U tada je

P(h)([{x k|kR}])=[{x hl|lh *R}]=[{x hl|codl=domh,hlR}] P(h)([\{x_k|k\in R\}])= [\{x_{h\circ l}| l\in h^* R\}] = [\{x_{h\circ l}| cod l= dom h, \,h\circ l\in R\}]

što je dobro definirano.

Konačno, η P:PP +\eta_P: P\to P^+ s komponentama η PU:P(U)P +(U)\eta_{P U}:P(U)\to P^+(U), UObCU\in Ob C, η PU(x):=[{P(f)(x),ft U}]\eta_{P U}(x):= [\{P(f)(x), f\in t_U\}], gdje je t Ut_U maksimalno rešeto na UU.

Last revised on June 11, 2013 at 16:50:28. See the history of this page for a list of all contributions to it.