Zoran Skoda hom11 sajtovi

Grothendieckove predtopologije

Grothendieckova predtopologija na kategoriji $C$ s povlacima (pullbacks) je klasa $\tau$ istaknutih porodica morfizama oblika $\{ X_\alpha\to X\}_\alpha$, tj. gdje svi u jednoj porodici imaju istu domenu, koje zadovoljavaju slijedeće aksiome

(i) (identiteta) Za svaki objekt $X$, $\{X\stackrel{id_X}\longrightarrow X\}\in \tau$

(ii) (stabilnost na povlake) Ako je $\mathcal{U} = \{U_\alpha\stackrel{f_\alpha}\longrightarrow U\}_\alpha\in\tau$ $g: V\to U$ proizvoljni morfizam, tada je $g^*\mathcal{U} = \{g^* U_\alpha\stackrel{g^*(f_\alpha)}\longrightarrow U\}_\alpha = \{ U_\alpha\times_U V\longrightarrow V\}_\alpha\in \tau$

(iii) (tranzitivnost) Ako je $\{f_\alpha: U_\alpha\to U\}_{\alpha\in A}\in\tau$ i $\forall \alpha\in A$ $\{g_{\alpha\beta}: V_{\alpha\beta}\to U_\alpha\}_{\beta\in B_\alpha}\in\tau$, tada je i $\{f_\alpha\circ g_{\alpha\beta}:V_{\alpha\beta}\to U\}_{\alpha\in A,\beta\in B_\alpha}\in\tau$.

Porodice koje su elementi u $\tau$ zovu se pokrivači. Ako je $\mathcal{U} = \{f_\alpha:U_\alpha\to U\}$ pokrivač čiji morfizmi imaju kodomenu $U$, kažemo da je $\mathcal{U}$ pokrivač od $U$.

Neka je $i:Z\to X$ izomorfizam. Tada je dijagram

$$\array{ Z &\stackrel{i}\to & X\\ i\downarrow & &\downarrow id\\ X &\stackrel{id}\to & X }$$

kartezijev. Kako je $\{id_X\}\in\tau$ po (i), tada i skup kojemu je jedini element povlak $i:Z\to X$ po (ii) također u $\tau$. Dakle (i) i (ii) impliciraju

(i)‘ ako je $i:Z\to X$ izo tada je jednočlan skup $\{i\}$ pokrivač od $X$.

Neka je $D$ kategorija s malim limesima, a $(C,\tau)$ kategorija s povlacima i sa zadanom Grothendieckovom topologijom. Snop $F$ na $(C,\tau)$ s vrijednostima u $D$, je kontravarijantni funktor $F:C^{op}\to D$ takav da je za svaki pokrivač $\mathcal{U} = \{f_\alpha:U_\alpha\to U\}_\alpha$ dijagram

ujednačitelj, gdje je $p_1: \prod_{\alpha\beta}U_\alpha\times_U U_\beta \to \prod_\gamma U_\gamma$ jedinstveni morfizam u $C$ takav da za sve $\gamma$ vrijedi $p_{1\gamma} = p_\gamma\circ p_1$, a $p_2$ je analogno karakteriziran s $p_{2\gamma} = p_\gamma\circ p_2$, pri čemu su $p_\gamma: \prod_\alpha U_\alpha\to U_\gamma$, $p_{1\gamma}, p_{2\gamma}:\prod_{\alpha\beta} U_\alpha\times_U U_\beta \to U_\gamma$ kanonske projekcije (1 i 2 se odnosi na prvi i drugi faktor kod fibriranog produkta, a $\gamma$ na indeks projekcije unutar običnog produkta).

Grothendieckove topologije

Rešeto (ili sito, franc. scrible, engl. sieve) na objektu $U$ u $C$ je skup morfizama $S = \{f_\alpha:U_\alpha\to U\}_\alpha$ s istom kodomenom sa svojstvom da ako je $f_\alpha\in S$, i $g\circ f_\alpha$ definirano, tada je $g\circ f_\alpha\in S$ (“desni ideal”). Ako igla prođe kroz rupu sita, tada i konac kojeg vuče prođe kroz sito.

Ekvivalentno, oni morfizmi rešeta $S$ na $U$ čija domena je neki $U_\alpha$ čine podskup $S(U_\alpha)\subset Hom_C(U_\alpha,U)$. Rešeto je zadano ako za svaki $U_\alpha$ znamo koje elemente odabrati u $Hom_C(U_\alpha,U)$. Ako je $g:V\to U_\alpha$ tada je $f_\alpha\circ g = Hom(g,U)(f_\alpha)$, tj. odabir u raznim $U_\alpha$ je funktorijalan u smislu da je $S$ podfunktor reprezentabilnog funktora $h_U = Hom(-,U)$. Dakle, možemo reći da su rešeta na $U$ ništa drugo nego podfunktori reprezentabilnog funktora $h_U$.

Ako je $S$ rešeto na $U$ i $g: V\to U$ morfizam, tada je povlak $g^*(S) = \{h:X\to V, X\in Ob C, g\circ h\in S\}$ rešeto na $V$. Ako $k:W\to V$ tada vrijedi $k^* g^* (S) = (k\circ g)^*(S)$ i $(id)^*(S)=S$.

Grothendieckova topologija na maloj kategoriji $C$ je funkcija $J$ koja svakom objektu $U$ u $C$ pridružuje neku porodicu nepraznih rešeta $J_U$ na $U$, koje zovemo pokrivajuća rešeta, pri čemu vrijedi

(i) (maksimalno rešeto) $h_U\in J_U$,

(ii) (stabilnost) ako je $S\in J_U$ tada je i $g: V\to U$ morfizam, tada je restrikcija $g^*(S) = \{h:X\to V, X\in Ob C, g\circ h\in S\}\in J_V$,

(iii) (tranzitivnost) ako je $S\in J_U$ pokrivajuće rešeto i $R$ proizvoljno rešeto na $U$ takvo da je za svaki $h:V\to U$, $h\in S$, restrikcija $h^*(R)\in J_V$, tada i $R\in J_U$.

Grothendieckov sajt je uređeni par $(C,J)$ male kategorije $C$ i Grothendieckove topologije $J$ na $C$.

(ii) i (iii) povlače

(iv) ako su $R,S\in J_U$ tada je i $R\cap S\in J_U$.

Zaista, ako je $k\in R$, $k:V\to U$, tada po stabilnosti (ii) $k^*(S) =\{h:X\to V, X\in Ob C, k\circ h\in S\}\in J_V$. Kako je $S$ rešeto, to je i $k\circ h\in R$ automatski, pa je $k\circ h\in R\cap S$ akko $k\circ h\in S$, tj. $k^*(S)=k^*(R\cap S)$. Kako to vrijedi za sve $k\in R$, i $R\in J_U$ je pokrivajuće, to je po (iii) $R\cap S\in J_U$.

Uz malo dodatne pažnje, mogu se, naravno, gledati i topologije na velikim kategorijama.

Snopovi na sajtovima

Neka je $P$ predsnop skupova na $C$. Kako je rešeto $S$ na $U$ podfunktor od $h_U$, to ima smisla govoriti o prirodnim transformacijama $S\Rightarrow P$. Kažemo da je $P$ snop na sajtu $(C,J)$ ako za svako pokrivajuće rešeto $S$ od $U$ svaka prirodna transformacija $\alpha:S\Rightarrow P$ (koju zovemo poklapajuća porodica) ima jedinstveno proširenje na prirodnu transformaciju $\tilde{\alpha}:h_U\to P$ (proširenje znači da je kompozicija $S\hookrightarrow h_U\stackrel{\tilde\alpha}\longrightarrow P$ jednaka $\alpha$). Ako proširenje postoji samo za neke poklapajuće porodice, ali je za svaku od njih jedinstveno, govorimo o separiranom predsnopu (ili, monopredsnopu). Ako proširenje postoji za sve poklapajuće porodice, ali nije nužno jedinstveno, govorimo o epipredsnopu.

Tu definiciju treba objasniti. Komponente $\alpha_V:S(V)\to P(V)$ poklapajuće porodice su funkcije (preslikavanja skupova) koje svakom morfizmu $k:V\to U$ iz $S$ zadaju jedan prerez $x_k = \alpha_{V}(k)\in P(V)$, pri čemu prirodnost kaže $x_{k\circ l} = P(l)(x_k)$ za sve morfizme $l$, $dom k=cod l$. Amalgam poklapajuće porodice $x_k$ je element $x\in P(U)$ takav da je $P(k)(x)=x_k$ $\forall k\in S$. Snopovski uvjet se može izraziti kao uvjet da je dijagram

ujednačitelj skupova $\forall U\in Ob C$ $\forall S\in J_U$.

Snopifikacija

Kao i kod običnih topoloških prostora, snopifikacija $a(P)$ predsnopa $P$ je snop $a(P)$ zajedno s morfizmom predsnopova (prirodnom transformacijom) $P\stackrel{\iota}\Rightarrow a(P)$ takvim da za svaki morfizam $\alpha: P\Rightarrow F$ gdje je $F$ snop, postoji jedinstveni morfizam snopova $\beta: a(P)\Rightarrow F$ tako da je $\beta\circ\iota = \alpha$.

U slučaju predsnopova skupova na Grothendieckovom sajtu definirat ćemo konstrukciju $+:P\mapsto P^+$ koja je endofunktor na kategoriji predsnopova, i takvu da je za svaki predsnop $P$, predsnop $P^+$ separirani, a za svaki separirani predsnop $P$, $P^+$ je snop; dakle, za svaki predsnop $P$ je $P^{++}$ snop. Zapravo, plus konstrukcija dolazi zajedno s prirodnom transformacijom $\eta:id\mapsto id^+$, čija je komponenta $\eta_P: P\to P^+$ mono (epi) onda i samo onda ako je $P$ separirani predsnop (epipredsnop); dakle izo akko je $P$ snop.

$$P^+(U) = colim_{R\in J_U} Nat(R,P)$$

Sjetimo se da je $Nat(R,P)$ zapravo skup svih poklapajućih porodica za $R$. Kod računanja kolimesa, gledamo klice, odnosno klase ekvivalencije poklapajućih porodica $\mathbf{x} = \{ x_k, k\in R\}$, za pokrivajuća rešeta, gdje $\mathbf{x}\sim \mathbf{y}=\{ x_k, k\in S\}$ ako postoji profinjenje $T\subset R\cap S$, tako da za sve $l\in T$, $x_l = y_l$. Skupovi klica zajedno čine predsnop s obzirom na slijedeću restrikciju. Neka je $h:V\to U$ tada je

$$P(h)([\{x_k|k\in R\}])= [\{x_{h\circ l}| l\in h^* R\}] = [\{x_{h\circ l}| cod l= dom h, \,h\circ l\in R\}]$$

što je dobro definirano.

Konačno, $\eta_P: P\to P^+$ s komponentama $\eta_{P U}:P(U)\to P^+(U)$, $U\in Ob C$, $\eta_{P U}(x):= [\{P(f)(x), f\in t_U\}]$, gdje je $t_U$ maksimalno rešeto na $U$.