# Zoran Skoda hom11lec1 English

### L1.1 Actions of topological groups

Def. A topological group is a group $(G,\cdot)$ together with a topology on $G$, such that the multiplication $G\times G\to G$ and the inverse map $g\mapsto g^{-1}$, $G\to G$ are continuous.

For an alement $x$ of a topological space $X$, we say that it is a close point, if the one point set $\{x\}$ is a closed subset in $X$.

Fact. The following properties of a topological group $G$ are equivalent:

(i) a one element set ${1_G}$ whose only element is the unit of the group is closed in $G$

(ii) every one element subset of $G$ is closed

(iii) $G$ is a Hausdorff topological space

(iv) $G$ is a regular topological space ($T_1$ i $T_3$)

(v) $G$ is a Tihonov topological space ($T_{3\frac{1}{2}}$)

If $G$ is a topological group, then a left (resp. right) $G$-space is a topological space $E$ with a left (right) continuous action $G\times E\to E$ (resp. $E\times G\to E$) of a group $G$ on $E$. The right continuous action is a continuous map $\nu: E\times G\to E$ such that $\nu(\nu(e,g_1),g_2) = \nu(e,g_1\cdot g_2)$ and $\nu(e,1_G) = e$ for all $e\in E, g_1,g_2\in G$. In practice, the result of action will be simply denoted by concatenation, writing $e g$ for $\nu(e,g)$. A right $G$-space is free if the action $E\times G\to E$ is free, that is if $x g = x$ for some $x\in E$ and some $g\in G$ then $g = 1_G$.

Morfizam desnih $G$-prostora $E\to E'$, ili ekvivarijantno preslikavanje je bilo koje neprekidno preslikavanje $f: E\to E'$ takvo da je $f(e g) = f(e) g$ za svaki $e\in E$ i svaki $g\in G$. Desni $G$-prostori i ekvivarijantna preslikavanja čine kategoriju koju ćemo označiti s $Top-G$, lijevi $G$-prostori i njihova ekvivarijantna preslikavanja (koja zadovoljavaju identitet tipa $f(g y) = g f(y)$) na sličan način tvore kategoriju $G-Top$.

Ako je $x = y g$ za neke $x,y\in E$ i neki $g\in G$, tada kažemo da su $x$ i $y$ u istoj orbiti. Drugim riječima orbita djelovanja $P\times G\to P$ je bilo koji potprostor $O\subset P$ oblika $x G = \{x g | g\in G \}$ gdje je $x$ fiksni element u $E$. Svaki element u $E$ element je točno jedne orbite. Postoji projekcija s $E$ na skup svih orbita $E/G$, $x\mapsto x G$. Na $E/G$ postoji jedinstvena topologija takva da je projekcija $can : E\to E/G$, $e\mapsto e G$ tzv. epiomorfizam? topoloških prostora, tj. $U$ je otvoren skup onda i samo onda ako je totalna praslika $\pi^{-1}U$ otvorena (epiomorfizam koji je ujedno i surjekcija nazivamo kvocijentno preslikavanje topoloških prostora),

### L1.2 Translacijsko preslikavanje, svežnjevi i glavni $G$-svežnjevi

Neka je $P$ neki $G$-prostor. Tada definiramo prostor $P\times_G P$ potprostor topološkog prostora $P\times P$ čiji elementi su svi parovi $(p,p')\in P\times P$ takvi da postoji postoji $g\in G$ tako da je $p g = p'$. Ako je $P$ slobodni $G$-prostor, tada postoji funkcija $\tau : P\times_G P \to G$ gdje je $\tau(p,p')$ jedinstveni element u $G$ takav da $p\tau (p,p') = p'$. Preslikavanje $\tau$ ima svojstva $\tau(p,p) = 1_G$ i $\tau(p,p')\tau(p',p'') = \tau(p,p'')$.

Ako je $P$ slobodan desni $G$-prostor i funkcija $\tau$ neprekidna tada kažemo da je $P$ glavni $G$-prostor i da je $\tau$ translacijsko preslikavanje ili preslikavanje dijeljenja.

Primjedba. U skladu s terminologijom dijeljenja, ponekad pišemo i $\tau(p,q) =: p^{-1} q$. To se opravdava činjenicom da u toj notaciji vrijedi $q = p g$ ako i samo ako $p^{-1} q = g$, što izgleda kao da smo zdesna podijelili s $p$ mada je potonji koncept samo parcijalno definiran.

Trojka $(E,\pi,X)$ gdje je $\array{E\\ \downarrow \pi \\ X}$ neprekidno preslikavanje zovemo svežanj (engl. bundle). Kažemo da je $E$ totalni prostor svežnja, $X$ baza svežnja, $\pi$ projekcija svežnja, i za svaki $x\in X$, kažemo da je potprostor $\pi^{-1}(x) = E_x = \{e\in E | \pi(e) = x\}\subset E$ vlakno (ili sloj) svežnja $E$ nad $x$ (ili “u točki $x$”) Ta terminologija i običaj da pišemo preslikavanje od gore prema dolje u takvim kontekstima dolazi od Grothendiecka. U zapisu na webu ćemo zbog grafičkih uvjeta ipak većinom pisati vodoravno, za razliku od usmenih predavanja. Kažemo da je $(E,\pi,X)$ svežanj s tipičnim slojem ako su sva vlakna međusobno homeomorfna.

Ako je $P$ glavni $G$-prostor, tada definiramo pripadajući svežanj s tipičnim slojem $can : P\to P/G$. Svako vlakno je homeomorfno s $G$, naime neka je $x\in P/G$, tada je ono oblika $p G$ za barem jedan $p$. Izaberimo jedan takav $p$. Tada definiramo bijekciju $\xi_p:G\to can^{-1}(x)$ s $\xi_p(g) = p g$. Iz te formule se, iz neprekinutosti djelovanja, vidi da je funkcija $\xi_p$ neprekidno preslikavanje. Inverz od $\xi_p$ je $\tau(p,-) : can^{-1}(p G)\to G$; iz formule slijedi neprekidnost tog inverza.

Def. Kažemo da je svežanj $P\stackrel\pi\longrightarrow X$ glavni $G$-svežanj, gdje je $G$ topološka grupa, ako je $P$ (desni) glavni $G$-prostor, te postoji homeomorfizam $\psi: P/G\to X$ takav da je $\psi\circ can = \pi$ gdje je $can : P\to P/G$ prirodna projekcija glavnog $G$-prostora na prostor orbita.

Primjedbe. (i) Neposredno se provjeri da je homeomorfizam $\psi:P/G\to X$ je jedinstveno određen definicijom. (ii) Svaki glavni $G$-svežanj je svežanj s tipičnim slojem i taj sloj je (izomorfan) $G$.

Def. Neka su $(E,\pi,X)$ i $(E',\pi',X')$ dva svežnja. Morfizam iz $\pi$ u $\pi'$ je par $(f,\phi)$ preslikavanja $f: E\to E'$ i $\phi : X\to X'$ tako da $\phi\circ\pi= \pi'\circ f$. Za morfizam $(f,\phi)$ kažemo da je nad $\phi$. Kompozicija se definira posebno za $\phi$-ove i posebno za $f$-ove. Svežnjevi i njihovi morfizmi tako očito čine kategoriju. Ako je $X=X'$ tada za svaki morfizam nad $id_X$ kažemo da je morfizam nad $X$. Morfizam iz $(E,\pi,X)$ u $(E',\pi',X)$ nad $X$ je dakle dan naprosto morfizmom $f: E\to E'$ takvim da je $\pi'\circ f =\pi$. Kažemo neformalno da su morfizmi nad $X$ “komutativni trokuti”. To je specijalni slučaj kategorijske konstrukcije “kategorije kriški” nad $X$. Svežnjevi i morfizmi nad fiksnom bazom $X$ čine dakle primjer kategorije kriški.

Propozicija. Neka je $P$ desni $G$-prostor i $\pi: P\to X$ neprekidno preslikavanje koje se faktorizira kroz kvocijent tj. $\pi(p g) = \pi(p)$. Tada je $\pi: P\to X$ glavni svežanj onda i samo onda ako preslikavanje topoloških prostora

$\Phi: P\times G\to P\times_G P, \,\,\,\,\,(p,g)\mapsto (p, p g)$

homeomorfizam.

Dokaz. Kako je preslikavanje koje invertiramo $(p,g)\mapsto (p, p g)$ to je inverzno preslikavanje oblika $\Phi^{-1} :(p, p')\mapsto (p, f(p,p'))$ za neki neprekinuti $f: P\times_G P\to G$. Kako je kompozicija $\Phi\circ\Phi^{-1} = id$ to $p f(p,p')= p'$, a iz jedinstvenosti inverza vidimo da je $f$ jedinstven. Dakle, djelovanje je slobodno, $f$ je translacijsko preslikavanje i ono je neprekinuto. U obratnom smjeru, ako je $P$ glavni $G$-svežanj, tada konstruiramo inverz od $\Phi$ kao $(p,p')\mapsto (p,\tau(p,p'))$

Teorem. Svaki morfizam $f: P\to P'$ glavnih svežnjeva nad $X$ je izomorfizam.

Dokaz. (i) ($f$ je injekcija.) Sjetimo se najprije da preslikavanja nad $X$ čuvaju projekciju, tj. da $\pi'\circ f = \pi$. Neka je $f(p_1) = f(p_2)$. Tada je $\pi(p_1) = \pi'(f(p_1)) = \pi'(f(p_2)) = \pi(p_2)$. Kako je $X\cong P/G$ to je $\pi(p_1) = \pi(p_2)$ ekvivalentno $p_1 G = p_2 G$, tj. postoji $g\in G$ takvo da je $p_2 = p_1 g$. Po ekvivarijantnosti preslikavanja $f$, tada $f(p_2) = f(p_1 g) = f(p_1) g = f(p_2) g$. Kako je djelovanje $G$ na $P'$ slobodno, to $f(p_2)=f(p_2)g$ implicira $g = 1_G$ i dakle $p_2 = p_1 1_G = p_1$.

(ii) ($f$ je surjekcija.) Neka je $p'\in P'$. tada $\pi'(p')\in X\cong P/G$. Dakle postoji $p\in P$ takav da je $\pi(p)=\pi'(p')$. Slijedi da $\pi'(f(p)) = \pi(p)= \pi'(p')$, tj. $f(p)G = p'G$. To znači da postoji $g\in G$, takav da $p ' = f(p) g = f(p g)$. Dakle $p'$ je u slici preslikavanja $f$.

(iii) ($f^{-1}$ je ekvivarijantan.) Promatrajmo $f^{-1}(p' h)$ gdje je $p'\in P'$ i $h\in G$. Po bijektivnosti $p' = f(p)$ za jedinstveni $p$. Dakle $f^{-1}(p' h) = f^{-1}(f(p) h) = f^{-1} (f(p h)) = p h = f^{-1}(p)$.

(iv) ($f^{-1}$ je neprekidno preslikavanje, ili ekvivalentno, $f$ je otvoreno preslikavanje.) Ovdje izlažemo varijantu dokaza iz Husemollerove knjige.

Treba dokazati da za svaki otvoreni skup $U\subset P$ njegova slika $f(U)$ je otborena, tj. da za svaki $q\in f(U)$ postoji otvorena okolina $W$, $q\in \tilde{W}^{otv}\subset f(U)$, takva da $f^{-1}(\tilde{W})\subset U$.

Po neprekinutosti djelovanja $P\times G\to P$, postoji otvorena okolina $U_1^{otv}\times N^{otv}\subset U\times G$ od $(f^{-1}(q),1_G)$ takva da $p_1 g \in U$ ako $p_1\in U_1$ i $g\in N$. Nadalje, po neprekinutosti $\tau'$, postoji otvorena okolina $W$ od $q$, takva da ako su $w,w'\in W$ u istom vlaknu od $P'$, onda je $\tau'(w,w')\in N$. Neka je $\tilde{U}_1 = U_1\cap f^{-1}(W)\ni f^{-1}(q)$. Kako je $\pi$ kvocijentno (dakle, napose i otvoreno) preslikavanje, to je $\pi'^{-1}(\pi(\tilde{U}_1))$ otvoren skup i $\tilde{W} = W\cap\pi'^{-1}(\pi(\tilde{U}_1))$ otvorena okolina točke $q$. Vrijedi $\pi'(\tilde{W})\subset \pi(\tilde{U}_1)$, tj. za svaki $w'\in W$, $w' G\cap f(\tilde{U}_1)\neq\emptyset$. Dakle $\forall w'\in \tilde{W}$ $\exists p\in\tilde{U}_1$ tako da $\pi'(w') = \pi(p)$, iz čega slijedi $\exists g\in G$, tako da je $f(p) g = w'$. Kako je $f(p)\in f(\tilde{U}_1)\subset W$, i $w'\in W'\subset W$ to je $g = \tau(f(p),w')\in N$ i konačno $p \tau(f(p),w')\in U$, tj. $w' = f(p)\tau(f(p),w')\in f(U)$. Q. E. D.

Primijetite da je korištena neprekinutost translacijskog preslikavanja $\tau'$ od $P'$, a nije važno zahtijevati neprekinutost $\tau$ za $P$.

### L1.3 Povlačenje svežnjeva i glavnih $G$-svežnjeva

Neka je $(E,\pi,X)$ proizvoljni svežanj i $\phi : Y\to X$ preslikavanje. Povlak (pullback) od $\pi$ uzduž $\phi$ je svežanj $\phi^*(E)\stackrel{\phi^*(\psi)}\to Y$ konstruiran kako slijedi. Topološki potprostor $\phi^*E \subset Y\times E$ (alternativna, nešto manje precizna notacija za $\phi^*E$ je $Y\times_X E$) sastoji se od parova $(y,e)$ takvih da je $\phi(y) = \pi(e)$; projekcija $\phi^*(\pi):\phi^* E\to Y$ je restrikcija od $E\times Y\to Y$; slično se definira i projekcija $\pi^*(\phi):\phi^*E\to E$ kao restrikcija od $E\times Y\to E$. Povlak zadovoljava univerzalno svojstvo, naime za svaki topološki prostor $Z$ s (neprekidnim) projekcijama $q_E: Z\to E$ i $q_Y: Z\to Y$ postoji jedinstveno preslikavanje $\chi: Z\to \phi^*E$ takvo da $q_E = \pi^*(\phi)\circ\chi$ i $q_Y = \phi^*(\pi)\circ\chi$. Za svežanj $\phi^*(\pi):\phi^* E\to Y$ kažemo da je povučeni ili inducirani svežanj od $\pi: E\to Y$ uzduž $\phi$. Lako je vidjeti da je vlakno nad $y$ kanonski izomorfno vlaknom nad $\phi(x)$. Kao posljedica toga, ako je $(E,\pi,X)$ svežanj s tipičnim slojem, inducirani svežanj je također svežanj s tipičnim slojem. Ako je $(E,\pi,X)$ glavni $G$-svežanj, tada inducirani svežanj $\phi^* E$ također postaje glavni $G$-svežanj na kanonski način. Ako je $f: (E_1,\pi_1,X)\to (E_2,\pi_2,X)$ morfizam svežnjeva (resp. glavnih $G$-svežnjeva) nad $X$, tada se konstruira (po univerzalnom svojstvu) i inducirani morfizam $\phi^*(f) : \phi^* E_1\to \phi^* E_2$ svežnjeva (resp. glavnih $G$-svežnjeva) nad $Y$, i $\phi^*$ postaje funktor.

Propozicija. Neka su zadana preslikavanja $Z\stackrel\psi\longrightarrow Y\stackrel\phi\longrightarrow X$ i $E$ svežanj nad $X$. Tada je $\psi^*(\phi^* E)$ izomorfno s $(\phi\circ \psi)^* E$ kao svežanj nad $Z$. Nadalje, ako je $id_X: X\to X$ identično preslikavanje, tada je $(id_X)^* E \cong E$.

Primjedba. To razmišljanje se može dalje utočniti rekavši da je operacija povlaka $\phi \mapsto \phi^*$ (induciranja svežnjeva) pseudofunktor iz kategorije topoloških prostora (koji imaju ulogu baze) u 2-kategoriju kategorija. Naravno kao objekti u slici pojavljuju se same kategorije svežnjeva nad fiksnim bazama. U drugom formalizmu, operacija induciranog (povučenog svežnja) može se formalizirati preko raslojenih (fibriranih) kategorija.

Propozicija. Ako je $P\stackrel\pi\longrightarrow X$ glavni svežanj, tada i i inducirani svežanj $Y\times_X P\to Y$ ima strukturu glavnog $G$-svežnja na kanonski način; naime djelovanje na $Y\times_X P$ inducirano je djelovanjem $G$ s desna na $Y\times P$.

Skica dokaza. Da bi djelovanje bilo definirano na potprostoru $Y\times_X P$, taj potprostor sa svakim elementom iz $Y\times P$ kojeg sadrži mora sadržavati i cijelu njegovu orbitu. No ako je $(y,p)\in Y\times_X P$ tada je i $(y,p g) \in Y\times_X P$ jer $\phi(y) = \pi(p)$ implicira $\phi(y) = \pi(p g)$ jer je $\pi(p g) = \pi(p)$ jer se po definiciji glavnog svežnja projekcija $E\to X$ se faktorizira kroz prostor orbita $E\to E/G\to X$. Čitatelju je ostavljeno da pokaže da je dobiveno djelovanje slobodno i da je inducirano translacijsko preslikavanje neprekidno.

### L1.4 Trivijalni i lokalno trivijalni glavni $G$-svežnjevi

Def. Kažemo da je glavni $G$-svežanj $P\stackrel\pi\longrightarrow X$ trivijalan ako je izomorfan nad $X$ glavnom svežnju $t^* 1$ koje je dobiveno povlačenjem jedinstvenog glavnog svežnja $1 = (G\to \{\star\})$ nad jednoelementnim prostorom (pri ;emu je povlak uzduž jedinstvenog preslikavanja $t:X\to\{\star\}$). Ekvivalentno, $\pi$ je trivijalan ako je izomorfan glavnom svežnju oblika projekcije s produktnog svežnja $X\times G\to X$. Glavni $G$-svežanj je lokalno trivijalan ako postoji pokrivač? baze $X$ takav da za svaki $U$ iz pokrivača, restrikcija $\pi^{-1}U\to U$ je trivijalan glavni $G$-svežanj.

Opservacija. (Npr. uz pomoć identiteta $\psi^*\phi^* E \cong (\phi\circ\psi)^* E$) možemo primijetiti da je svaki svežanj izomorfan lokalno trivijalnom svežnju lokalno trivijalan.

Zadatak. Pokaži da je glavni $G$-svežanj $P\to X$ lokalno trivijalan akko postoji pokrivač $\{U_\alpha\}_\alpha$ takav da je povučeni svežanj $\phi^* P\to \coprod_\alpha U_\alpha$ uzduž prirodnog preslikavanja $\coprod_\alpha U_\alpha\to X$ (induciranog familijom ulaganja $U_\alpha\hookrightarrow X$) trivijalni glavni $G$-svežanj.

Def. Neka je $C$ bilo koja kategorija i $\pi:E\to X$ morfizam u $C$. Kažemo da je morfizam $\sigma: X\to E$ prerez od $\pi$ ako je kompozicija $\pi\circ\sigma = id_X$.

Propozicija. Glavni $G$-svežanj $P\stackrel{\pi}\longrightarrow X$ je trivijalan akko postoji prerez $\sigma:X\to P$ od $\pi$ u kategoriji topoloških prostora i neprekidnih preslikavanja.

(Jako je bitno da radimo s glavnim svežnjem; kod drugih tipova svežnjeva, recimo vektorskih svežnjeva, postojanje jednog prereza obično nije dovoljno za trivijalnost.)

Skica dokaza. Definiramo $\xi_\sigma : P\to X\times G$ formulom $p\mapsto (\pi(p),\tau(\sigma(\pi(p)),p))$ i inverz s $(x,g)\mapsto \sigma(x)g$. Lako se vidi iz formula da su ta dva preslikavanja neprekidna. Ostaje lagana provjera da su oba preslikavanja ekvivarijantna i da su međusobno inverzna.

### L1.5 Asocirani svežnjevi s vlaknom $F$

Konstrukcija asociranih svežnjeva. Neka je $E$ desni, a $F$ lijevi $G$-prostor. Tada definiramo $E\times_G F$ kao kvocijent prostora $E\times F$ po modulu relacije $(e g, f) = (e, g f)$, za sve $e\in E$, $f\in F$, $g\in G$. Ako je $P\stackrel\pi\longrightarrow X$ tada je prirodna projekcija $P\times_G F\to X$, $[p,f]\mapsto \pi(p)$ svežanj s tipičnim vlaknom koje je homeomorfno s $F$. Kažemo da je $P\times_G F\to X$ asociran glavnom $G$-svežnju $P\stackrel\pi\longrightarrow X$ s tipičnim slojem $F$. Npr. ako je $F = \mathbf{R}^n$ i $G = GL(n)$ s prirodnim lijevim djelovanjem na $F$, tada je asocirani svežanj zapravo vektorski svežanj u smislu druge definicije koja će biti uvedena na jednom od kasnijih predavanja.

Teorem. Prerezi asociranog svežnja s vlaknom $P\times_G F\to X$ u bijekciji su s neprekidnim preslikavanjima $f: P\to F$ takvim da je

$f(p g) = g^{-1} f(p), \,\,\,\,\,\,\forall p\in P, \forall g\in G.$

Nije teško napisati formule za tu bijekciju i provjeriti da je bijekcija. Teže je dokazati da preslikavanje $f_s$ inducirano na taj način od nekod prereza $s$ je u stvari neprekidno. Vidi Husemollerovu knjigu ili slijedeće predavanje.

### L1.6 Kociklusni opis lokalno trivijalnih glavnih $G$-svežnjeva

Neka je $P\stackrel{\pi}\longrightarrow X$ glavni $G$-svežanj koji je lokalno trivijalan, odnosno koji je trivijalan na pokrivaču $\mathcal{U} = \{U_\alpha\}_\alpha$. Kako je trivijalnost $\pi^{-1}U_\alpha \to U_\alpha$ ekvivalentna postojanju prereza $\sigma : U_\alpha\to \pi^{-1}U_\alpha$ projekcije $\pi|_{\pi^{-1}U_\alpha}$ (pri čemu izbor prereza nije jedinstven), izaberimo neku takvu porodicu prereza (po jedan prerez za svaki $\alpha$) $\{\sigma_\alpha: U_\alpha\to G\}_\alpha$. Definirajmo neprekidna preslikavanja

$f_{\alpha\beta} : U_\alpha\cap U_\beta\to G$

formulom

$f_{\alpha\beta}(x) = \tau(\sigma_\alpha(x),\sigma_\beta(x)).$

Tada vrijede “1-kociklusni uvjeti”:

• $f_{\alpha\beta} f_{\beta\gamma} = f_{\alpha\gamma}$ restringirano na $U_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma$
• $f_{\alpha\alpha} = 1$ na $U_\alpha$.

Porodicu podataka $\mathbf{f}=\{f_{\alpha\beta}: U_\alpha\cap U_\beta\to G \}_{\alpha,\beta}$ zvati ćemo 1-kociklusom na pokrivaču $\mathcal{U}$ s vrijednostima u $G$ ukoliko zadovoljava 1-kociklusne uvjete.

Neka je 1-kociklus $\mathbf{f}$ na nekom pokrivaču $\mathcal{U}$ topološkog prostora $X$ zadan. Tada on definira glavni $G$-svežanj $P(\mathbf{f})$ na slijedeći način. Najprije konstruiramo trivijalni $G$-svežanj

$\array{ \coprod_\alpha U_\alpha\times G\\ \downarrow \\ \coprod_\alpha U_\alpha }$

a nakon toga identificiramo neke točke i u totalnom prostoru i u baznom prostoru. Točku $x\in U_\alpha$ u disjunktnoj uniji $\coprod_\alpha U_\alpha$ označavamo kao $(x)_\alpha$ (to je samo drugi način pisanja za $(x,\alpha)$), a točku $(x,g)\in U_\alpha\times G$ s $(x,g)_\alpha$ (tj. $(x,g,\alpha)$). Tada u bazi identificiramo $(x)_\alpha\sim (y)_\beta$ akko $x=y$ (u $X$). Tada dobijemo $\left(\coprod_\alpha U_\alpha\right)/\sim = \cup_{\alpha\in A} U_\alpha = X$. U totalnom prostoru, identificiramo

$(x,g)_\alpha \sim (y,h)_\beta \Leftrightarrow x = y\,\,\,i\,\,g = f_{\alpha\beta}(x) h$

This is motivated by the situation in principal bundle with sections chosen, where $\sigma_{\alpha}(x) g = \sigma_{\beta}(x) h$ what means $g = \tau(\sigma_\alpha(x),\sigma_\beta(x))h= f_{\alpha\beta}(x) h$.

Last revised on May 24, 2018 at 08:10:47. See the history of this page for a list of all contributions to it.