Zoran Skoda hom11lec4

Skup $S$ na glatkoj mnogostrukosti $M^n$ ima mjeru $0$ ako za svaku kartu $(U,\phi)$ na $M$, $\phi(S\cap U)$ ima mjeru nula u $\mathbf{R}^n$.

Sardov teorem. Neka je $f:M^m\to N^n$, klase $C^k$. Tada kritične točke preslikavanja $f$ čine skup mjere nula ako je $k-1\geq n-m$. (bez dokaza)

Teorem. Ako preslikavanje glatkih vektorskih svežnjeva ima konstantni rang, tada su $Ker(f)$ i $Im(f)$ svežnjevi. (dokaz na satu)

Zadatak. Za vektorske svežnjeve $V,W$ nad čvrstim prostorom $X$, prerezi unutarnjeg HOMa čine prostor svih preslikavanja iz $V$ u $W$: $\Gamma(HOM(V,W)) = Hom(V,W)$. Unutarnji HOM je definiran kao ekstenzija “neprekidnog” funktora $Hom$ s vektorskih prostora na vektorske svežnjeve.

Zadatak. $k$-struja glatkog preslikavanja $f:M\to N$ u točki $p\in M$ je klasa ekvivalencije svih preslikavanja $g:M\to N$ takvih da je $f(p)=g(p)$ i takve da $f$ i $g$ imaju kontakt reda $k$ u točki $p$. It Taylorovog razvoja slijedi da $k$-struje svih preslikavanja u točki $p$ sa fiksiranim $q = f(p)$ čine vektorski prostor ${}_p J^k(M,N)_q$ a unija svih takvih za čvrsti $k$ je prostor $k$-struja $J^k(M,N)$. Pokažite da $J^k(M,N)$ ima strukturu glatke mnogostrukosti i da su domena i kodomena glatka preslikavanja. S $J^\inty(M,N)$ označavamo $\coprod_k J^k(M,N)$.

Grassmanova i Stiefelova mnogostrukost

…

Hopfove fibracije

…