Zoran Skoda hom12 aditivne kategorije

Usporedi $n$Lab additive and abelian categories, monomorphism, kernel, cokernel, zero object

Osnovna kategorijska terminologija je u lekciji lecsCatCh0.

Slijedeća lekcija je hom12 abelove kategorije.

Nulobjekti i nulmorfizmi

Nulobjekt je objekt koji je istovremeno inicijalni i terminalni. Kategorija skupova nema nulobjekt jer je inicijalni objekt prazan skup, a terminalni jednočlani skup (singleton). Kategorija abelovih grupa ima nulobjekt, naime grupu s jednim elementom (trivijalnu grupu). Ako postoji nulobjekt u nekoj kategoriji onda je on jedinstven do na jedinstveni izomorfizam. Grupa automorfizama nulobjekta je trivijalna.

Nulmorfizam u kategoriji $C$ s nulobjektom $0$, je morfizam $f:A\to B$ za koji postoji razlaganje u kompoziciju morfizama oblika $A\stackrel{p}\longrightarrow 0 \stackrel{i}\longrightarrow B$, tj. koja se propušta kroz nulobjekt. Kako je $0$ i inicijalni i terminalni objekt, to je svako takvo razlaganje jedinstveno ukoliko postoji. Ako je $f$ nulmorfizam i $g\circ f$ definirano, tada je $g\circ f$ nulmorfizam (analogno za $f\circ g$).

Ab-kategorije i predaditivne kategorije

Kategorija $C$ je $Ab$-kategorija (ili $Ab$-obogaćena kategorija) ako je na svakom skupu $Hom(x,y)$ gdje su $x,y$ objekti u $C$ zadana struktura abelove grupe, a kompozicija $\circ : Hom(y,z)\otimes Hom(x,y)\to Hom(x,z)$ je homomorfizam grupa, tj. operacija koja je aditivna u oba argumenta. Suprotna kategorija od $Ab$-kategorije također ima strukturu $Ab$-kategorije.

$Ab$-kategorije s samo jednim objektom $R$ su zapravo prsteni. Naime morfizmi su u bijekciji s elementima iz $R$, a množenje je kompozicija. Od tuda dolazi stara fraza da su $Ab$-kategorije “prsteni s više objekata”. Ako je $R$ prsten i $C_R$ pripadna $Ab$-kategorija s jednim objektom (kažemo još “suspenzija od $R$”), tada su lijevi (desni) moduli $M$ nad $R$ u korespondenciji s kovarijantnim (kontravarijantnim) funktorima $C_R\to Ab$. Ta definicija preko funktora se može proširiti do općenite definicija modula nad $Ab$-kategorijom kad je $C$ umjesto $C_R$ proizvoljna mala $Ab$-kategorija.

Predaditivna kategorija (engl. pre-additive category, npr. u S. MacLane, Homology, 1963) je $Ab$ kategorija u kojoj postoji nulobjekt. Neki autori koriste naziv preadditive category za $Ab$-kategoriju (npr. engleska wikipedia, koja slijedi Popescu).

Zadatak. (i) Dokaži da je za $Ab$-kategoriju dovoljno je tražiti da ima inicijalni objekt, tada će on nužno biti i terminalni, dakle nulobjekt.

(ii) Dokaži da je u svakoj predaditivnoj kategoriji nula Abelove grupe homomorfizama $0_{x,y}\in Hom(x,y)$ ujedno i nulmorfizam. U svakoj $Ab$-kategoriji vrijedi obrat, tj. ako je $0$ nulmorfizam onda je oblika $0_{x,y}$ u smislu obogaćenja.

(iii) Dokaži da je u predaditivnoj kategoriji svaki objekt $O'$ koji ima trivijalnu grupu automorfizama nulobjekt.

Biprodukti i aditivne kategorije

Predaditivna kategorija je aditivna kategorija ako postoje binarni biprodukti, tj. za svaki par objekata $V$ i $W$ postoji njihov biprodukt, tj. objekt $V\oplus W$ koji istovremeno ima strukturu produkta kao univerzalnog konusa $V\stackrel{p_V}\longleftarrow V\times W\stackrel{p_W}\longrightarrow W$ i strukturu koprodukta kao univerzalnog kokonusa $V\stackrel{i_V}\longrightarrow V\coprod W\stackrel{i_W}\longleftarrow W$. Umjesto univerzalnih svojstava produkta i koprodukta za $V\oplus W$, možemo tražiti da $V\oplus W$ ima strukturu direktne sume, tj. da morfizmi $i_V,i_W, p_V,p_W$ zadovoljavaju relacije

$$p_V i_V = id_V, \,\,\,\,p_W i_W = id_W,\,\,\,\,i_V p_V + i_W p_W = id_{V\oplus W}.$$

Iz tih svojstava slijedi

$$p_V i_W = p_V (i_V p_V + i_W p_W) i_W = id_V p_V i_W + p_V i_W id_W = p_V i_W + p_V i_W,$$

dakle $p_V i_W = 0$ i, analogno, $p_W i_V = 0$. Pojam biprodukta (kao objekta koji je istovremeno produkt i biprodukt) se očito može proširiti na bilo koju porodicu objekata, s time da je biprodukt nula objekata nulobjekt, a biprodukt jednog objekta taj sam objekt. Ukoliko u kategoriji postoje svi konačni biprodukti, tada je ona na kanonski način $Ab$-obogaćena. Naime, za svaki objekt $A$, po univerzalnom svojstvu produkta, postoji jedinstveno preslikavanje dijagonala $\Delta:A\to A\times A$ takvo da je $p_1\circ A = id_A = p_2\circ A$ gdje su $p_1,p_2$ projekcije produkta $A\times A$ na $A$. Slično, po univerzalnom svojstvu koprodukta, postoji kodijagonala $\nabla:A\coprod A\to A$ karakterizirana s $\nabla\circ i_1 = id_A = \nabla\circ i_2$, gdje su $i_1,i_2$ kanonska ulaganja koprodukta. Nadalje, u svakoj kategoriji u kojoj postoji koprodukt $M\coprod M$ i produkt $N\times N$, za svaka dva morfizma $f:M\to N$ i $g:M\to N$, postoji jedinstveno preslikavanje $f\oplus g:M\coprod M\to N\times N$ takvo da je $p_k^N\circ (f\oplus g)\circ i_l^M$ jednako $f$ ako $k=l=1$, jednako $g$ ako $k=l=2$ i jednako $0$ ako $k\neq l$. Morfizam $f\oplus g$ se u kategoriji s konačnim biproduktima podudara s preslikavanjem $f\times g : M\times M\to N\times N$ karakteriziranom relacijama $p_1^M (f\times g) = f p_1^N$ i $p_2^M (f\times g) = g p_2^N$. U kategoriji s binarnim biproduktima $f\oplus g$ se također podudara s morfizmom $f\coprod g: M\coprod M\to N\coprod N$ karakteriziranom relacijama $(f\coprod g) i_1^M = i_1^N f$ i $(f\coprod g) i_2^M = i_2^M g$.

Teorem. U kategoriji $C$ s binarnim biproduktima se s $f+g = \nabla\circ (f\oplus g)\circ\Delta$ definira struktura komutativne polugrupe na $Hom(M,N)$; ukoliko u $C$ postoji nulobjekt, tada je nulmorfizam $0_{M,N}$ neutralni element te polugrupe. Ukoliko je ta polugrupa grupa, tada te strukture za sve $M,N$ u $C$ daju strukturu aditivne kategorije na $C$. Svaka druga struktura aditivne kategorije na $C$ se podudara s tom aditivnom strukturom (tj. struktura aditivne kategorije na kategoriji joj je intrinzička kao kategoriji).

Dokaz bi bilo dobro napraviti kao zadatak. Varijante tog teorema s dokazom se mogu naći u Bassovoj K-teoriji (nema jedinstenosti) i u Borceuxovoj Categeorical algebra, vol. 2 (tamo se dokazuje jedinstvenos).

Najjednostavniji primjer aditivne kategorije je sama kategorija Abelovih grupa. Konačni biprodukti Abelovih grupa su upravo vanjske direktne sume Abelovih grupa, u smislu standardne algebre.

U proizvoljnoj kategoriji s binarnim koproduktima mofizmu $c: M\coprod N\to P$ pridružujemo par morfizama $(c_M,c_N)$ gdje su $c_M:M\to P$ i $c_N:N\to P$ dani s $c_M = c i_M$ i $c_N = c i_N$. To je bijekcija jer je inverz tog preslikavanja dan univerzalnim svojstvom. U aditivnoj kategoriji možemo tu bijekciju pisati kao izomorfizam Abelovih grupa

$$Hom(M\coprod N,P) \cong Hom(M,P)\oplus Hom(N,P),$$

a za inverz tada postoji i formula $c = c_M p_M + c_N p_N$. Slično imamo izomorfizan $Hom(Q,M\prod N)\cong Hom(Q,M)\oplus Hom(Q,N)$ s inverzom danom formulom $(d_M,d_N)\mapsto i_M d_M + i_N d_N$.