Binarna relacija na skupu je bilo koji podskup Kartezijevog umnoška , odnosno neki skup uređenih parova elemenata iz . Kažemo da je u relaciji s ako je . Alternativno, pišemo i .
Relacija ekvivalencije na skupu je binarna relacija na koja ima slijedeća tri svojstva
(tranzitivnost) ako su takvi da je i tada je i
(refleksivnost) za svaki
(simetričnost) ako tada i
Približni hrvatski prijevod strane riječi ekvivalencija je istovjetnost, no u matematici se ne koristi da ne bi došlo do neželjene zamjene s istošću/jednakošću. Svaka dva ista (jednaka) objekta su ekvivalentna po refleksivnosti, ali obrat ne vrijedi: jednakost je stroža od ekvivalencije, no svojstva ekvivalencije ukazuju na to da je možemo promatrati kao poopćenu jednakost, gdje elementi koji su u relaciji ekvivalentnosti dijele neko svojstvo (istovjetni su po nekom kriteriju, ali nisu u potpunosti isti (jednaki)).
U geometriji su poznate relacije ekvivalencije “biti s iste strane pravca ” (to je relacija na skupu svih točaka u ravnine koje ne pripadaju pravcu ), relacija sukladnosti na skupu trokuta ravnine, relacija sličnosti trokuta itd.
Ako je neka relacija ekvivalencije na skupu tada je skup podijeljen na disjunktnu uniju podskupova koje zovemo razredi ekvivalencije s obzirom na relaciju . Razred ekvivalencije (ili klasa ekvivalencije) relacije je svaki podskup sa svojstvom da su svaka dva njegova elementa ekvivalentna (tj. za sve ) i koji je maksimalan skup s tim svojstvom tj. nije pravi podskup ni jednog drugog skupa s tim svojstvom. Ako je relacija ekvivalencije tada su svaka dva razreda ekvivalencije i međusobno jednaki ili disjunktni (njihov presjek je prazan skup). Svaki element je u nekoj klasi, dakle se razlaže na particiju disjunktnim podskupovima, kao što je spomenuto gore. Ako je bilo koji element tada je skup svih elemenata takvih da neka klasa ekvivalencije, koju označavamao ili, kad znamo o kojoj relaciji ekvivalencije je riječ, naprosto . Klase ekvivalencije i gdje je mogu biti ili iste ili disjunktne (tj. ). Iste su onda i samo onda ako su i u istoj klasi, tj. .
Skup svih razreda ekvivalencije zadane relacije ekivalencije na označava se i zove kvocijentni skup s obzirom na relaciju .
Last revised on March 2, 2023 at 11:57:53. See the history of this page for a list of all contributions to it.