Zoran Skoda
kompleksni broj

Polje kompleksnih brojeva

Kompleksni brojevi uvedeni su da bi jednadžba x 2=1x^2 = -1 i, općenitije, jednadžba x 2=ax^2 = -a , gdje je a>0a\gt 0 ma koji pozitivni realni broj, imala rješenja, a da su pravila računanja s takvim proširenim skupom koji sadrži realne brojeve i dalje ista (npr. komutativnost množenja, distributivnost množenja prema zbrajanju). Kako je kvadrat svakog realnog broja pozitivan ili nula takvih rješenja nema u skupu realnih brojeva. Ako je i 2=1i^2 = -1 tada je i (i) 2=1(-i)^2 = -1 te (ia) 2=i 2a=a(i\sqrt{a})^2 = i^2 \cdot a = - a, ako su svojstva računskih operacija u kojima se uz realne brojeve pokazuje i broj ii ista kao u polju realnih brojeva.

Kompleksni brojevi su formalni izrazi oblika a+bia+b i gdje su a,ba,b\in\mathbb{R} (u kojima je ii samo simbol), za koje definiramo slijedeće operacije zbrajanja i množenja:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i
(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i (a + b i)\cdot(c + d i) = (a\cdot c - b\cdot d) + (a\cdot d + b\cdot c) i

Ta definicija množenja je nužna ako pretpostavimo i 2=1i^2 = -1, definiciju zbrajanja i svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju. Naravno, pri tome smo pretpostavili da je ++ u simbolu kompleksnog broja jednak zbrajanju u smislu da ako identificiramo a=a+0ia = a + 0 i i i=0+1ii = 0 + 1 i tada je a+bia+b i identificiran s (a+0i)+(0+bi)(a + 0 i) + (0 + b i). Realni broj aa zovemo realni dio, a realni broj bb imaginarni dio kompleksnog boja a+bia + b i. Simbol ii zovemo imaginarna jedinica. Pozitivna vrijednost korijena a 2+b 2\sqrt{a^2+b^2} zove se apsolutna vrijednost kompleksnog broja a+bia+ b i i označava |a+bi||a + b i|.

S druge strane, uz gornju definiciju zbrajanja i množenja skup \mathbb{C} svih kompleksnih brojeva ima sva svojstva polja i proširuje polje \mathbb{R} realnih brojeva ako, kao i maloprije, smatramo realni broj aa\in\mathbb{R} jednakim kompleksnom broju a+0ia + 0 i.

Često se zapravo formalni izraz a+bia+ b i promatra kao uređeni par (a,b) 2(a,b)\in\mathbb{R}^2. Dakle nije potrebno posebno uvoditi imaginarnu jedinicu nego govorimo o običnim uređenim parovima. No, pravila množenja i zbrajanja za takve parove treba ipak zadati. To su operacije (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) i (a,b)(c,d)=(acbc,ad+bc)(a,b)\cdot(c,d) = (a c-b c, a d+b c) i one definiraju polje kojem je jedinica (1,0)(1,0), a čija nula je (0,0)(0,0). Realni broj λ\lambda se pojavljuje kao uređeni par (λ,0)(\lambda,0). Naravno, potrebno je dosta provjeravanja da se uvjerimo da svojstva polja vrijede za skup uređenih parova 2\mathbb{R}^2. U tim terminima je imaginarna jedinica izvedena kao i=(0,1)i = (0,1) (zaista, i 2=(0,1)(0,1)=(1,0)=1i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1) i vrijedi jednakost = 2\mathbb{C} = \mathbb{R}^2 kao skupa. To je logički bolje jer tada ++ znači samo ++, a ne ujedno i notaciju unutar kompleksnog broja (gore smo mogli to izbjeći uvođenjem dva različita plusa, i pokazati kao i prije da se jednakosti ne mijenjaju ako formalni plus zamijenimo stvarnim), ali to je manje motivirano.

Kako vrijedi i 2=1i^2 = -1 to je i 4=i 2i 2=(1)(1)=1i^4 = i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot(-1) = 1 te i 3=i 2i=ii^3 = i^2\cdot i = -i, i 2=1i 2=11=1i^{-2} = \frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1. Općenito, i 4k=1i^{4k} = 1, i 4k+1=ii^{4k+1} = i, 4k+2=1^{4k+2} = -1 i i 4k+3=ii^{4k+3} = -i za sve cijele kk\in\mathbb{Z}.

Drugi korijen iz kompleksnog broja

Svaki kompleksni broj z=x+yiz = x+ y i osim nule ima dva druga korijena, tj. kompleksnih brojeva ww takvih da w 2=zw^2 = z. Zaista,

(u+vi) 2=u 2+2uvi+(vi) 2=(u 2v 2)+2uvi (u+ v i)^2 = u^2 + 2 u v i + (v i)^2 = (u^2 - v^2) + 2 u v i

pa uvjet w 2=zw^2 = z možemo pisati kao

(u 2v 2)+2uvi=x+yi (u^2 - v^2) + 2 u v i = x + y i

gdje su u,v,x,yu,v,x,y realni brojevi. Dva su kompleksna broja jednaka ako su njihovi realni dijelovi jednaki i njihovi imaginarni dijelovi jednaki. Dakle, vrijedi

u 2v 2=x,2uv=y.u^2 - v^2 = x,\,\,\,\,\,\,\,2 u v = y.

Mi tvrdimo da ako z0z\neq 0 taj sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice uu i vv ima točno dva rješenja u kojima su uu i vv realni. Ako su uu i vv oba 00 onda je kvadrat 00, što ne razmatramo. Dakle ili uu ili vv je različit od nule. Recimo da je u0u\neq 0. Tada vrijedi v=y/(2u)v = y/(2 u), što nakon uvrštavanja u prvu jednadžbu govori u 2y 2/(4u 2)=xu^2 - y^2/(4 u^2) = x, što je nakon množenja s 4u 204 u^2\neq 0 daje ekvivalentnu jednadžbu 4u 44xu 2y 2=04 u^4 - 4 x u^2 - y^2 = 0. Takvu jednadžbu zovemo bikvadratnom. Nazovimo t=u 2t = u^2. Tada za tt vrijedi obična kvadratna jednadžba, tj. 4t 24xty 2=04 t^2 - 4 x t - y^2 = 0. Diskriminanta joj je

D=(4x) 244(y 2)=16x 2+16y 2=16|z| 2=(4|z|) 2.D = (4 x)^2 - 4 \cdot 4\cdot (-y^2) = 16 x^2 + 16 y^2 = 16 |z|^2 = (4 |z|)^2.

Dakle, tt mora biti 4x±D8=(x±|z|)/2\frac{4x\pm\sqrt{D}}{8} = (x\pm |z|)/2, no kako je |z|x|z|\geq x to bi dobili negativni tt za predznak minus, što je nemoguće, jer je t=u 2t = u^2 kvadrat realnog broja uu. Dakle, u=±x+|z|2u = \pm \sqrt{\frac{x+|z|}{2}} i v=±y2(x+|z|)v = \pm\frac{y}{\sqrt{2(x+|z|)}}. Vidimo da je u tom slučaju v=0v=0 samo ako je y=0y = 0.

U drugom slučaju, ako tražimo v0v\neq 0, možemo pisati u=y/(2v)u = y/(2 v) i dobijemo bikvadratnu jednadžbu

4v 44xv 2+y 2=0 - 4 v^4 - 4 x v^2 + y^2 = 0

koju svodimo na kvadratnu 4s 24xs+y 2=0- 4 s^2 - 4 x s + y^2 = 0 za s=v 2s = v^2. Pozitivno je rješenje s=4x4|z|/(8)=(|z|x)/2s = 4 x-4|z|/(-8) = (|z|-x)/2 i v=±|z|x2v = \pm\sqrt{\frac{|z|-x}{2}} i u=±y2(|z|x)u = \pm\frac{y}{\sqrt{2(|z|-x)}}. Vidimo da je u tom slučaju v=0v=0 samo ako je y=0y = 0. Ukoliko su uu i vv oba različiti od nule onda su formule za oba slučaja ekvivalentne. Na primjer,

u=±|z|+x2=±y 22(|z|x)=±|y|2(|z|x) u = \pm\sqrt{\frac{|z|+x}{2}} = \pm\sqrt{\frac{y^2}{2(|z|-x)}} = \frac{\pm|y|}{\sqrt{2(|z|-x)}}

jer (|z|x)(|z|+x)=|z| 2x 2=y 2(|z|-x)(|z|+x)= |z|^2 - x^2 = y^2.

Primjer. Nađi oba kompleksna druga korijena broja z=3+4iz = -3 + 4i. Sad (u+vi) 2=3+4i(u+v i)^2 = -3 + 4 i daje u 2v 2=3u^2-v^2=-3 i 2uv=42 u v = 4, pa supstituiravši v=2/uv = 2/u u prvu jednadžbu dobijemo jednadžbu u 2+34/u 2=0u^2 + 3 - 4/u^2 = 0, dakle bikvadratnu jednadžbu u 4+3u 24=0u^4 + 3 u^2 - 4 = 0. Dakle, (u 2+4)(u 21)=0(u^2+4)(u^2-1) = 0, pa je jedino pozitivno rješenje za u 2u^2 jednako 11. Slijedi da je u=1u = 1 i v=2v = 2 ili u=1u = -1 i v=2v=-2. Zaista, (1+2i) 2=1+4i4=3+4i(1+2i)^2 = 1 + 4 i - 4 = -3+4i i (12i) 2=3+4i(-1-2i)^2 = -3+4i.

Primjer. Nađi oba kvadratna korijena broja z=86iz = 8-6i. Rješenja su 3i3-i i 3+i-3+i.

Prikaz u kompleksnoj ravnini i Eulerova formula

Kompleksne brojeve često crtamo u tzv. kompleksnoj ravnini u kojoj je realni dio kompleksnog broja na xx osi, a imaginarni dio na yy osi. Tada je duljina radijus vektora od 00 do zz jednaka apsolutnoj vrijednosti r=|z|=x 2+y 2r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}, a kut α=arg(z)\alpha = arg(z) koji radijus vektor 0z\vec{0 z} zatvara s osi xx (i kojeg zovemo argument kompleksnog broja zz) ima tangens tg(α)=yxtg(\alpha) = \frac{y}{x}. Primijetite da ako znamo kvadrant i ako znamo tangens kuta, tada znamo i kut.

Euler je primijetio da ako pisemo exp(iα)=cosα+isinαexp(i \alpha) = cos \alpha + i sin \alpha (ili, u drugim oznakama, e iα=cosα+isinαe^{i\alpha} = cos \alpha + i sin\alpha, gdje je e=2,7182818e = 2,7182818\ldots Eulerov broj) za realne α\alpha, tada vrijedi

exp(iα)exp(iβ)=exp(i(α+β)) exp(i \alpha) exp (i \beta) = \exp (i (\alpha + \beta)) , tj.

e iαe iβ=e i(α+β) e^{i \alpha} e^{i \beta} = e^{i (\alpha + \beta)}

što je u skladu s uobičajenim pravilom za eksponenciranje pozitivnih realnih brojeva zbrojem realnih brojeva:

d a+b=d ad b d^{a + b} = d^a \cdot d^b

samo što su sad a=iαa = i \alpha i b=iβb = i\beta imaginarni brojevi.

Zaista, (cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=(cosαcosβsinαsinβ)+i(cosαsinβ+sinαcosβ)=cos(α+β)+isin(α+β)(cos \alpha + i sin \alpha)\cdot(cos\beta + i sin\beta) = (cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin\beta) + i ( cos\alpha sin \beta + sin\alpha cos \beta) = cos(\alpha + \beta) + i sin (\alpha +\beta) pri čemu su korištene formule za kosinus i sinus zbroja (tzv. adicione formule za trigonometrijske funkcije coscos i sinsin):

cosαcosβsinαsinβ=cos(α+β) cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot sin\beta = cos(\alpha + \beta)
cosαsinβ+sinαcosβ=sin(α+β) cos\alpha \cdot sin \beta + sin\alpha \cdot cos \beta = sin (\alpha +\beta)

Eulerova formula povezana je sa zapisom kompleksnog broja preko apsolutne vrijednosti i argumenta kao z=|z|e iarg(z)z = |z| e^{i arg(z)}.

Last revised on February 5, 2018 at 09:40:56. See the history of this page for a list of all contributions to it.