Zoran Skoda konstrukcija tangente

Sjetimo se da je tangenta na kružnicu pravac koji prolazi krozu neku točku na kružnici i okomit je na radijus kružnice koji završava u toj točki. Lako se dokaže da je to jedino sjecište, pa je tangenta pravca koji dira kružnicu u samo jednoj točki (kad bi bile dvije dobili bi istokračan trokut, koji dakle ima dva kuta jednaka, no jedan od njih je pravi pa je i drugi i imamo trokut s dva prava kuta što je kontradikcija).

Neka je sad zadana kružnica $k(O,r)$ i točka $T$ van kružnice. Tada postoje točno dvije tangente na tu kružnicu koje prolaze kroz $T$. Neka je $A$ jedno od hipotetskih dirališta tangente kroz $T$. Tada po obratu Talesovog teorema o obodnom kutu $\angle O A T$ koji je pravi (kut između polumjera i tangente) postoji kružnica takva da je $O T$ promjer. Dakle nađemo polovište $S$ dužine $O T$ i presječemo kružnicu polumjera $\overline{O S}$ s kružnicom $k(O,r)$, tada je sjecište $A$. Takva presjeka postoje dva.

Postoje i druge konstrukcije. Npr. znajući da je tangenta okomita na polumjer i da su joj jedna od kateta i hipotenuza $r$ i $d(O,T)$ možemo konstruirati sukladana trokut kojemu je kateta jedan odabrani polumjer. Stavimo u šestar drugu katetu i nacrtamo kružnicu oko $T$ s istim polumjerom. Presjek te kružnice s $k(O,r)$ je diralište $A$.

Naravno, kad imamo diralište $A$, tangenta je $A T$.

Za zadanu točku $T$ sekanta kružnice $k(O,r)$ koja prolazi kroz obje tangente kroz $T$ zove se polara točke $T$ s obzirom na kružnicu $k(O,r)$.