Zoran Skoda krug

Neka je $M$ Euklidska ravnina.

Kružnica je skup svih točaka ravnine koje su pozitivno i jednako udaljene od neke fiksne točke. Dakle svaka točka $S\in M$ i pozitivan broj $r\in\mathbb{R}_+$ definiraju neku kružnicu

$$K(S,r) = \{ B\in M\,|\, d(S,B) = r \}$$

Za točke koje su elementi $K(S,r)$ obično kažemo da su na kružnici. Točku $S$ zovemo središte kružnice, a broj $r$ polumjer kružnice. Ponekad polumjerom kružnice nazivamo bilo koju dužinu oblika $\vec{S B}$ gdje je $B$ na toj kružnici.

Za danu točku $S$ otvoreni krug radijusa $r\gt 0$ je skup svih točaka $B$ za koje vrijedi $d(S,B)\lt r$, tj. skup svih točaka koje su “unutar kružnice” radijusa $r$. Zatvoreni krug radijusa $r\gt 0$ sa središtem $S$ je skup svih točaka $B$ ravnine za koje vrijedi $d(S,B)\leq r$. Komplement zatvorenog kruga je podskup ravnine koji zovemo vanjština kruga. Točke vanjštine kruga zadovoljavaju $d(S,B)\gt r$.

Dvije kružnice $K(S,r)$ i $K(S',r')$ su jednake onda i samo onda ako imaju jednaka središta i jednake polumjere. Ako imaju jednaka središta i različite polumjere onda se ne sijeku. Ako imaju različita središta tada možemo odrediti koliko točaka je u njihovom presjeku.

Ako je $B$ točka ravnine takva da je $d(S,B) = r$ (tj. $B$ je na kružnici $K(S,r)$), $d(B,S') = r'$ (tj. $B$ je na kružnici $K(S',r')$) tada je po nejednakosti trokuta $d(S,S') \leq d(S,B) + d(B,S') = r+r'$ pri čemu vrijedi jednakost onda i samo onda ako je $B$ na dužini $\overline{S,S'}$. Dakle, u slučaju jednakosti takva $B$ je jedinstvena točka presjeka, a ako se nejednakost ne poštuje, tj. ako $d(S,S')\gt r+r'$ tada je presjek dvije kružnice prazan. Presjek dviju kružnica je prazan i ako $d(S,S') \lt |r- r'|$ (jedna kružnica je cijela unutar otvorenog kruga druge). Konačno, u slučaju kad je $|r-r'| \lt d(S,S')\lt r+r'$ detaljnije analiza koja uključuje razmatranje neprekidnosti nekih funkcija (vidi knjigu B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika I) daje da se presjek dviju kružnica sastoji od dvije kružnice koje leže na jednoj okomici na dužinu $\overline{S S'}$.

Promatrajmo neki kut $\alpha$ čiji je vrh $S$, a koji je određen polupravcima $S p$ i $S q$. Dio zatvorenog kutnog isječka koji je unutar kruga polumjera $r$ sa središtem koje se podudara s $S$ zovemo kružni isječak. Njegova je površina $r^2\alpha/2$. Zaista, površina je proporcionalna kutu, a ako je kut $2\pi$ onda je kružni isječak cijeli krug. Točke kružnice oko $S$ koje su unutar zatvorenog kutnog isječka određenog kutem $\alpha$ zovemo kružni luk. Presjecište polupravca $S p$ i kružnice je jedna, a presjecište polupravca $S q$ je druga rubna točka tog kružnog luka (lako je vidjeti da svaki polupravac čiji je vrh središte kružnice siječe kružnicu u točno jednoj točki). Ako je kružnica polumjera $r$, tada je duljina luka $l = \alpha r$ ako je $\alpha$ u radijanima (zaista, duljina je proporcionalna kutu, a ako je kut puni kut onda je duljina luka $2\pi$). Primijetimo da je odnos površine kružnog isječka $P$ i duljine kružnog luka $l$ za isti kut ovakva: $P = l r/2$.

Tangenta kroz točku $B\in K(S,r)$ je pravac koji prolazi kroz $B$ i okomit je na pravac $S B$ (tj. na polumjer kružnice $\overline{S B}$).

Teorem. Tangenta siječe kružnicu samo u jednoj točki $B$.

(Naravno u nekim pristupima to je definicija tangente, no u ovom pristupu to je teorem, a definicija je preko okomice na polumjer.)

Dokaz je po kontradikciji. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji još jedna točka, recimo $C$, koja također pripada i kružnici i tangenti kroz $B$ tada je $\triangle{S B C}$ trokut koji ima stranice $\overline{S B}$ i $\overline{S C}$ jednake, pa su i njima nasuprotni kutevi u $C$ i $B$ jednaki. No, po definiciji tangente je kut u $B$ pravi pa je i kut u $C$ pravi. Dakle trokut $\triangle{S B C}$ ima dva prava kuta (to je nemoguće jer je svaki kut u trokutu veći od $0$, a zbroj kuteva u trokutu odgovara ispruženom kutu) što je kontradikcija.

Sekanta kružnice je pravac koji siječe kružnicu (tj. presjek nije prazan), a koja nije tangenta.

Teorem. Svaka sekanta siječe kružnicu u točno dvije točke.

Sjetimo se da je udaljenost točke $A$ do nekog nepraznog skupa $S$ ravnine takvog da $A\notin S$ infimum svih udaljenosti od $A$ do ranih točaka $s\in S$ na pravcu. Infimum je isto što i minimum, ako minimum postoji.

Tetiva kružnice je bilo koja dužina čiji su krajevi na kružnici. Spojnica sjecišta kružnice s nekom njenom sekantom je dakle primjer tetive. No, vrhovi tetive određuju jedinstveni pravac, i taj pravac je sekanta kružnice. Dakle, svaka tetiva je određena nekom sekantom, naime ona je dio sekante između njenih sjecišta s kružnicom.

Obodni kut nad tetivom $\overline{A B}$ kružnice $K(S,r)$ je bilo koji kut kojem je vrh na kružnici, a krakovi prolaze kroz $A$ i $B$. U principu takav kut može biti nad manjim i nad većim lukom i trebalo bi zapravo govoditi obodni kut nad lukom i označiti luk.

Središnji kut nad tetivom $\overline{A B}$ je kut čiji vrh je središte $S$ kružnice, a krakovi prolaze kroz vrhove tetive, tj. kroz točke $A$ i $B$. Npr. ako je dana tetiva zapravo promjer kružnice tada je središnji kut ispruženi kut.

Teorem o središnjem i obodnom kutu: Središnji kut nad tetivom dvostruko je veći od obodnog kuta čiji vrh je s iste strane pripadne sekante.

Posljedica: (Talesov teorem o kutu nad promjerom) Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut.

Ta posljedica slijedi kad primijetimo da je središnji kut nad promjerom ispruženi kut, a pola ispruženog kuta je pravi kut.

Posljedica: Svi obodni kutevi nad istim lukom su međusobno jednaki.

(Očito jer je svaki od njih pola središnjeg kuta, a središnji kut je jednoznačno određen središtem kružnice i tetivom.)

Propozicija. Obodni kutevi nad raznim lukovima iste kružnice s istom tetivom su suplementarni. (Tu se radi o kutevima koji su na raznim stranama te tetive).

Četverokut je tetivni četverokut ako postoji kružnica na kojoj leže sva 4 vrha tog četverokuta (četverokutu opisana kružnica). Sve stranice i sve dijagonale tetivnog četverokuta su tetive njemu opisane kružnice.

Teorem. Četverokut je tetivni akko je zbroj bilo koja dva njegova međusobno nasuprotna kuta ispruženi kut. U standardnim oznakama i radijanima, $\alpha +\gamma = \beta+\delta = \pi$.

Jedan smjer: ako je četverokut tetivni tada promatrajmo tetivu na opisanu kružnicu koja je dana jednom od dijagonala. Tada iz propozicije da su obodni kutevi na raznim stranama tetive suplementarni slijedi da su dva kuta iz vrhova u kojima ta tetiva ne završava suplementarni. Za suplementarnost druga dva kuta koristimo drugu dijagonalu. Obrat nećemo dokazivati.

Ptolomejev problem je pitanje kako odrediti da li je neki četverokut tetivni ako znamo samo duljine njegovih stranica. Odgovor je

Ptolomejev teorem. Četverokut je tetivni ako i samo ako je zbroj produkata duljina nasuprotnih stranica jednak produktu duljina dijagonala, $\overline{AB}\cdot\overline{CD} + \overline{BC}\cdot\overline{DA} = \overline{AC}\cdot\overline{BD}$.

Po definiciji, četverokut je tangencijalni četverokut ako postoji njemu upisana kružnica, tj. kružnica koja dira svaku stranicu u jednoj točki (tj. svaka stranica je tangenta na tu kružnicu).

Teorem: četverokut $ABCD$ je tangencijalan akko su zbrojevi parova nasuprotnih stranica međusobno jednaki, tj. $\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{BC} + \overline{DA}$.

category: zadarmat2