Zoran Skoda
krug

Neka je MM Euklidska ravnina.

Kružnica je skup svih točaka ravnine koje su pozitivno i jednako udaljene od neke fiksne točke. Dakle svaka točka SMS\in M i pozitivan broj r +r\in\mathbb{R}_+ definiraju neku kružnicu

K(S,r)={BM|d(S,B)=r} K(S,r) = \{ B\in M\,|\, d(S,B) = r \}

Za točke koje su elementi K(S,r)K(S,r) obično kažemo da su na kružnici. Točku SS zovemo središte kružnice, a broj rr polumjer kružnice. Ponekad polumjerom kružnice nazivamo bilo koju dužinu oblika SB\vec{S B} gdje je BB na toj kružnici.

Za danu točku SS otvoreni krug radijusa r>0r\gt 0 je skup svih točaka BB za koje vrijedi d(S,B)<rd(S,B)\lt r, tj. skup svih točaka koje su “unutar kružnice” radijusa rr. Zatvoreni krug radijusa r>0r\gt 0 sa središtem SS je skup svih točaka BB ravnine za koje vrijedi d(S,B)rd(S,B)\leq r. Komplement zatvorenog kruga je podskup ravnine koji zovemo vanjština kruga. Točke vanjštine kruga zadovoljavaju d(S,B)>rd(S,B)\gt r.

Dvije kružnice K(S,r)K(S,r) i K(S,r)K(S',r') su jednake onda i samo onda ako imaju jednaka središta i jednake polumjere. Ako imaju jednaka središta i različite polumjere onda se ne sijeku. Ako imaju različita središta tada možemo odrediti koliko točaka je u njihovom presjeku.

Ako je BB točka ravnine takva da je d(S,B)=rd(S,B) = r (tj. BB je na kružnici K(S,r)K(S,r)), d(B,S)=rd(B,S') = r' (tj. BB je na kružnici K(S,r)K(S',r')) tada je po nejednakosti trokuta d(S,S)d(S,B)+d(B,S)=r+rd(S,S') \leq d(S,B) + d(B,S') = r+r' pri čemu vrijedi jednakost onda i samo onda ako je BB na dužini S,S¯\overline{S,S'}. Dakle, u slučaju jednakosti takva BB je jedinstvena točka presjeka, a ako se nejednakost ne poštuje, tj. ako d(S,S)>r+rd(S,S')\gt r+r' tada je presjek dvije kružnice prazan. Presjek dviju kružnica je prazan i ako d(S,S)<|rr|d(S,S') \lt |r- r'| (jedna kružnica je cijela unutar otvorenog kruga druge). Konačno, u slučaju kad je |rr|<d(S,S)<r+r|r-r'| \lt d(S,S')\lt r+r' detaljnije analiza koja uključuje razmatranje neprekidnosti nekih funkcija (vidi knjigu B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika I) daje da se presjek dviju kružnica sastoji od dvije kružnice koje leže na jednoj okomici na dužinu SS¯\overline{S S'}.

Promatrajmo neki kut α\alpha čiji je vrh SS, a koji je određen polupravcima SpS p i SqS q. Dio zatvorenog kutnog isječka koji je unutar kruga polumjera rr sa središtem koje se podudara s SS zovemo kružni isječak. Njegova je površina r 2α/2r^2\alpha/2. Zaista, površina je proporcionalna kutu, a ako je kut 2π2\pi onda je kružni isječak cijeli krug. Točke kružnice oko SS koje su unutar zatvorenog kutnog isječka određenog kutem α\alpha zovemo kružni luk. Presjecište polupravca SpS p i kružnice je jedna, a presjecište polupravca SqS q je druga rubna točka tog kružnog luka (lako je vidjeti da svaki polupravac čiji je vrh središte kružnice siječe kružnicu u točno jednoj točki). Ako je kružnica polumjera rr, tada je duljina luka l=αrl = \alpha r ako je α\alpha u radijanima (zaista, duljina je proporcionalna kutu, a ako je kut puni kut onda je duljina luka 2π2\pi). Primijetimo da je odnos površine kružnog isječka PP i duljine kružnog luka ll za isti kut ovakva: P=lr/2P = l r/2.

Tangenta kroz točku BK(S,r)B\in K(S,r) je pravac koji prolazi kroz BB i okomit je na pravac SBS B (tj. na polumjer kružnice SB¯\overline{S B}).

Teorem. Tangenta siječe kružnicu samo u jednoj točki BB.

(Naravno u nekim pristupima to je definicija tangente, no u ovom pristupu to je teorem, a definicija je preko okomice na polumjer.)

Dokaz je po kontradikciji. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji još jedna točka, recimo CC, koja također pripada i kružnici i tangenti kroz BB tada je SBC\triangle{S B C} trokut koji ima stranice SB¯\overline{S B} i SC¯\overline{S C} jednake, pa su i njima nasuprotni kutevi u CC i BB jednaki. No, po definiciji tangente je kut u BB pravi pa je i kut u CC pravi. Dakle trokut SBC\triangle{S B C} ima dva prava kuta (to je nemoguće jer je svaki kut u trokutu veći od 00, a zbroj kuteva u trokutu odgovara ispruženom kutu) što je kontradikcija.

Sekanta kružnice je pravac koji siječe kružnicu (tj. presjek nije prazan), a koja nije tangenta.

Teorem. Svaka sekanta siječe kružnicu u točno dvije točke.

Sjetimo se da je udaljenost točke AA do nekog nepraznog skupa SS ravnine takvog da ASA\notin S infimum svih udaljenosti od AA do ranih točaka sSs\in S na pravcu. Infimum je isto što i minimum, ako minimum postoji.

Tetiva kružnice je bilo koja dužina čiji su krajevi na kružnici. Spojnica sjecišta kružnice s nekom njenom sekantom je dakle primjer tetive. No, vrhovi tetive određuju jedinstveni pravac, i taj pravac je sekanta kružnice. Dakle, svaka tetiva je određena nekom sekantom, naime ona je dio sekante između njenih sjecišta s kružnicom.

Obodni kut nad tetivom AB¯\overline{A B} kružnice K(S,r)K(S,r) je bilo koji kut kojem je vrh na kružnici, a krakovi prolaze kroz AA i BB. U principu takav kut može biti nad manjim i nad većim lukom i trebalo bi zapravo govoditi obodni kut nad lukom i označiti luk.

Središnji kut nad tetivom AB¯\overline{A B} je kut čiji vrh je središte SS kružnice, a krakovi prolaze kroz vrhove tetive, tj. kroz točke AA i BB. Npr. ako je dana tetiva zapravo promjer kružnice tada je središnji kut ispruženi kut.

Teorem o središnjem i obodnom kutu: Središnji kut nad tetivom dvostruko je veći od obodnog kuta čiji vrh je s iste strane pripadne sekante.

Posljedica: (Talesov teorem o kutu nad promjerom) Svaki obodni kut nad promjerom kružnice je pravi kut.

Ta posljedica slijedi kad primijetimo da je središnji kut nad promjerom ispruženi kut, a pola ispruženog kuta je pravi kut.

Posljedica: Svi obodni kutevi nad istim lukom su međusobno jednaki.

(Očito jer je svaki od njih pola središnjeg kuta, a središnji kut je jednoznačno određen središtem kružnice i tetivom.)

Propozicija. Obodni kutevi nad raznim lukovima iste kružnice s istom tetivom su suplementarni. (Tu se radi o kutevima koji su na raznim stranama te tetive).

Četverokut je tetivni četverokut ako postoji kružnica na kojoj leže sva 4 vrha tog četverokuta (četverokutu opisana kružnica). Sve stranice i sve dijagonale tetivnog četverokuta su tetive njemu opisane kružnice.

Teorem. Četverokut je tetivni akko je zbroj bilo koja dva njegova međusobno nasuprotna kuta ispruženi kut. U standardnim oznakama i radijanima, α+γ=β+δ=π\alpha +\gamma = \beta+\delta = \pi.

Jedan smjer: ako je četverokut tetivni tada promatrajmo tetivu na opisanu kružnicu koja je dana jednom od dijagonala. Tada iz propozicije da su obodni kutevi na raznim stranama tetive suplementarni slijedi da su dva kuta iz vrhova u kojima ta tetiva ne završava suplementarni. Za suplementarnost druga dva kuta koristimo drugu dijagonalu. Obrat nećemo dokazivati.

Ptolomejev problem je pitanje kako odrediti da li je neki četverokut tetivni ako znamo samo duljine njegovih stranica. Odgovor je

Ptolomejev teorem. Četverokut je tetivni ako i samo ako je zbroj produkata duljina nasuprotnih stranica jednak produktu duljina dijagonala, AB¯CD¯+BC¯DA¯=AC¯BD¯\overline{AB}\cdot\overline{CD} + \overline{BC}\cdot\overline{DA} = \overline{AC}\cdot\overline{BD}.

Po definiciji, četverokut je tangencijalni četverokut ako postoji njemu upisana kružnica, tj. kružnica koja dira svaku stranicu u jednoj točki (tj. svaka stranica je tangenta na tu kružnicu).

Teorem: četverokut ABCDABCD je tangencijalan akko su zbrojevi parova nasuprotnih stranica međusobno jednaki, tj. AB¯+CD¯=BC¯+DA¯\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{BC} + \overline{DA}.

category: zadarmat2

Last revised on May 24, 2017 at 12:50:58. See the history of this page for a list of all contributions to it.