Zoran Skoda
kubna jednadžba

Kubna jednadžba je jednadžba oblika

ay 3+by 2+cy+d=0 a y^3 + b y^2 + c y + d = 0

gdje su a,b,c,da,b,c,d elementi u polju FF i a0a\neq 0.

Najprije tu kubnu jednadžbu svodimo na kubnu jednadžbu u kojoj nema kvadratnog člana. Procedura je slična nadopunjavanju do na kvadrat u slučaju kvadratnih polinoma (gdje se rješavamo linearnog člana).

Dakle, pišemo

ay 3+by 2+cy+d = a(y+b3a) 3b 23ayb 327a 2+cy+d = a(y+b3a) 3+(cb 23a)(y+b3a)+(db 327a 2bc3a+b 39a 2) = a(y+b3a) 3+(cb 23a)(y+b3a)+(d+2b 39abc27a 2) = a(x 3+px+q),\array{ a y^3 + b y^2 + c y + d &=& a (y + \frac{b}{3 a})^3 - \frac{b^2}{3 a}y - \frac{b^3}{27 a^2} + c y + d\\ &=& a (y + \frac{b}{3 a})^3 + (c - \frac{b^2}{3 a})(y + \frac{b}{3 a}) + (d - \frac{b^3}{27 a^2} - \frac{ b c}{3 a} + \frac{b^3}{9 a^2}) \\ &=& a (y + \frac{b}{3 a})^3 + (c - \frac{b^2}{3 a})(y + \frac{b}{3 a}) + (d + \frac{2 b^3 - 9 a b c}{27 a^2}) \\ &=& a ( x^3 + p x + q), }

gdje je x=y+b3ax = y + \frac{b}{3 a}, p=3acb 23ap = \frac{3 a c - b^2}{3 a} i q=da+2b 39abc27a 3q = \frac{d}{a} + \frac{2 b^3 - 9 a b c}{27 a^3}.

Dobivamo novu jednadžbu

x 3+px+q=0. x^3 + p x + q = 0.

Tražimo xx u obliku (Vieteova supstitucija)

x=wp3w. x = w - \frac{p}{3 w}.

Dakle,

w 3pw+p 23w+p 327w 3+pwp 23w+q=0 w^3 - p w + \frac{p^2}{3 w} + \frac{p^3}{27 w^3} + p w - \frac{p^2}{3 w} + q = 0
w 3+p 327w 3+q=0 w^3 + \frac{p^3}{27 w^3} + q = 0

Tu jednadžbu pomnožimo s w 3w^3 i dobijemo kvadratnu jednadžbu za w 3w^3,

(w 3) 2+qw 3+p 327=0, (w^3)^2 + q w^3 + \frac{p^3}{27} = 0,

tako da bi trebalo biti

w 3=q2±(q2) 24p 327 w^3 = -\frac{q}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 - \frac{4 p^3}{27}}

Created on April 4, 2019 at 09:56:04. See the history of this page for a list of all contributions to it.