Zoran Skoda
kut

Postoji nekoliko različitih pojmova koje katkad zovemo kut.

Kut kao par polupravaca s istim vrhom

Sjetimo se da je polupravac OpO p s vrhom OO dio orijentiranog pravca pp koji se sastoji od svih točaka AA pravca za koje vrijedi AOA \geq O.

Prvi pojam je par polupravaca OpO p i OqO q s istim vrhom OO, koji nekad zovemo i kut Opq\angle O p q, a te polupravce tada zovemo krakovi kuta. Ako je par pravaca uređen, onda govorimo o orijentiranom kutu.

Kutni isječci

Drugi pojam kuta je ono što točnije zovemo otvoreni kutni isječak. Ako je dan par polupravaca OpO p i OqO q s vrhom OO (takve da pp i qq nisu isti neorijentirani pravac) tada je OqO q sav osim vrha u jednoj od dvije poluravnine određene pravcom pp, a OpO p sav osim vrha u jednoj od dvije poluravnine određene pravcom qq; presjek tih dviju poluravnina je otvoreni kutni isječak. Unija otvorenog kutnog isječka i krakova OpO p i OqO q je zatvoreni kutni isječak.

Kongruencija kuteva i uspoređivanje kuteva

Svaka dva kuta kojima je jedan krak zajednički možemo uspoređivati tako da proglasimo većim kutem onaj čiji kutni isječak je nadskup kutnog isječka drugog kuta.

Kažemo da su dva kuta Opq\angle O p q i Opq\angle O' p' q' kongruentna ako postoji izometrija koja šalje OO u OO' i polupravce OpO p u OpO' p' i OqO q u OqO' q'. Za svaka dva polupravca OpO p i OpO' p' ravnine postoji izometrija ravnine koja prevodi OO u OO'. Pri tome možemo izometriju izabrati tako da se odabrana poluravnina u odnosu na pp prevodi u odabranu poluravninu u odnosu na pp'. Dakle ako su zadani dva kuta Opq\angle O p q i Opq\angle O' p' q' tada postoji neki drugi kut Opq\angle O p q'' koji je kongruentan s Opq\angle O' p' q', a da njegov kutni isječak ima neprazni presjek s kutnim isječkom od Opq\angle O p q. To znači da ih možemo usporediti. Tako svaka dva kuta (gdje OpO p i OqO q nisu na istom pravcu) možemo usporediti koji je veći. To uspređivanje se proširuje i na razrede ekvivalencije kongruentnih kuteva koje također zovemo kutevi. To lako proširimo i na slučaj ispruženog kuta i nul kuta, dva slučaja kad OpO p i OqO q leže na istom pravcu. Svi kutni isječci u smislu ove definiciju su dakle manji ili jednaki ispruženom kutu. Možemo uvesti i kutne isječke koji su veći od ispruženog kuta tako da gledamo komplement zatvorenog kutnog isječka kuta manjeg od ispruženog kuta.

Zbrajanje kuteva i mjera kuta

Kuteve možemo i zbrajati tako da prvi krak drugog kuta prenesemo izometrijom na drugi krak prvog kuta tako da odgovarajući kutni isječci imaju prazan presjek. Tada prvi krak prvog kuta i drugi krak drugog kuta određuju novi kut. Tako možemo reći koji je kut dva puta veći ili manji od kojeg kuta i određivati kuteve koji su racionalni broj puta neki kut. Beskonačnim aproksimiranjem možemo definirati i realni broj puta dani kut. Dakle klase kongruentnih kuteva se mogu uspređivati s nekim fiksnim jediničnim kutem (koji je po definiciji mjere 1) i konstanta proporcionalnosti je mjera kuta (koliko puta je taj kut veći od izabranog jediničnog kuta). Ako ispruženom kutu zadamo mjeru 180 (dakle jedinični kut je 180-ti jednaki dio ispruženog kuta), to je pripadna mjera u stupnjevima, a ako mu zadamo mjeru π=3.14159...\pi = 3.14159... (Ludolfov broj) tada je to mjera u radijanima ili prirodna mjera kuta. Naravno pažljivo zasnivanje mjerenja kuteva treba nešto pažljiviju diskusiju, no ideja je izrečena. Za više detalja i detaljnija pojašnjenja pogledajte knjigu Pavkovića i Veljana, Elementarna matematika I pdf.

Orijentirani kutevi su ovdje van naših razmatranja. Kod njih gledamo koji je prvi, a koji drugi krak, a kod kongruentnosti dozvoljavamo samo izometrije koje su dobivene pomoću parnog broja osnih simetrija. Neformalno govoreći, to su one izometrije koje ne mijenjaju orijentaciju ravnine.

category: zadarmat2

Last revised on September 8, 2017 at 08:22:18. See the history of this page for a list of all contributions to it.