Zoran Skoda kut

Postoji nekoliko različitih pojmova koje katkad zovemo kut.

Kut kao par polupravaca s istim vrhom

Sjetimo se da je polupravac $O p$ s vrhom $O$ dio orijentiranog pravca $p$ koji se sastoji od svih točaka $A$ pravca za koje vrijedi $A \geq O$.

Prvi pojam je par polupravaca $O p$ i $O q$ s istim vrhom $O$, koji nekad zovemo i kut $\angle O p q$, a te polupravce tada zovemo krakovi kuta. Ako je par pravaca uređen, onda govorimo o orijentiranom kutu.

Kutni isječci

Drugi pojam kuta je ono što točnije zovemo otvoreni kutni isječak. Ako je dan par polupravaca $O p$ i $O q$ s vrhom $O$ (takve da $p$ i $q$ nisu isti neorijentirani pravac) tada je $O q$ sav osim vrha u jednoj od dvije poluravnine određene pravcom $p$, a $O p$ sav osim vrha u jednoj od dvije poluravnine određene pravcom $q$; presjek tih dviju poluravnina je otvoreni kutni isječak. Unija otvorenog kutnog isječka i krakova $O p$ i $O q$ je zatvoreni kutni isječak.

Kongruencija kuteva i uspoređivanje kuteva

Svaka dva kuta kojima je jedan krak zajednički možemo uspoređivati tako da proglasimo većim kutem onaj čiji kutni isječak je nadskup kutnog isječka drugog kuta.

Kažemo da su dva kuta $\angle O p q$ i $\angle O' p' q'$ kongruentna ako postoji izometrija koja šalje $O$ u $O'$ i polupravce $O p$ u $O' p'$ i $O q$ u $O' q'$. Za svaka dva polupravca $O p$ i $O' p'$ ravnine postoji izometrija ravnine koja prevodi $O$ u $O'$. Pri tome možemo izometriju izabrati tako da se odabrana poluravnina u odnosu na $p$ prevodi u odabranu poluravninu u odnosu na $p'$. Dakle ako su zadani dva kuta $\angle O p q$ i $\angle O' p' q'$ tada postoji neki drugi kut $\angle O p q''$ koji je kongruentan s $\angle O' p' q'$, a da njegov kutni isječak ima neprazni presjek s kutnim isječkom od $\angle O p q$. To znači da ih možemo usporediti. Tako svaka dva kuta (gdje $O p$ i $O q$ nisu na istom pravcu) možemo usporediti koji je veći. To uspređivanje se proširuje i na razrede ekvivalencije kongruentnih kuteva koje također zovemo kutevi. To lako proširimo i na slučaj ispruženog kuta i nul kuta, dva slučaja kad $O p$ i $O q$ leže na istom pravcu. Svi kutni isječci u smislu ove definiciju su dakle manji ili jednaki ispruženom kutu. Možemo uvesti i kutne isječke koji su veći od ispruženog kuta tako da gledamo komplement zatvorenog kutnog isječka kuta manjeg od ispruženog kuta.

Zbrajanje kuteva i mjera kuta

Kuteve možemo i zbrajati tako da prvi krak drugog kuta prenesemo izometrijom na drugi krak prvog kuta tako da odgovarajući kutni isječci imaju prazan presjek. Tada prvi krak prvog kuta i drugi krak drugog kuta određuju novi kut. Tako možemo reći koji je kut dva puta veći ili manji od kojeg kuta i određivati kuteve koji su racionalni broj puta neki kut. Beskonačnim aproksimiranjem možemo definirati i realni broj puta dani kut. Dakle klase kongruentnih kuteva se mogu uspređivati s nekim fiksnim jediničnim kutem (koji je po definiciji mjere 1) i konstanta proporcionalnosti je mjera kuta (koliko puta je taj kut veći od izabranog jediničnog kuta). Ako ispruženom kutu zadamo mjeru 180 (dakle jedinični kut je 180-ti jednaki dio ispruženog kuta), to je pripadna mjera u stupnjevima, a ako mu zadamo mjeru $\pi = 3.14159...$ (Ludolfov broj) tada je to mjera u radijanima ili prirodna mjera kuta. Naravno pažljivo zasnivanje mjerenja kuteva treba nešto pažljiviju diskusiju, no ideja je izrečena. Za više detalja i detaljnija pojašnjenja pogledajte knjigu Pavkovića i Veljana, Elementarna matematika I pdf.

Orijentirani kutevi su ovdje van naših razmatranja. Kod njih gledamo koji je prvi, a koji drugi krak, a kod kongruentnosti dozvoljavamo samo izometrije koje su dobivene pomoću parnog broja osnih simetrija. Neformalno govoreći, to su one izometrije koje ne mijenjaju orijentaciju ravnine.

category: zadarmat2