Zoran Skoda kvadratna funkcija

Realna funkcija f:RRf:\mathbf{R}\to\mathbf{R} je kvadratna funkcija ako je dana formulom oblika

f(x)=ax 2+bx+c, f(x) = a x^2 + b x + c,

gdje su a,b,cRa,b,c\in\mathbf{R}. Obično pretpostavljamo da je a0a\neq 0, tj. da je gornji izraz polinom stupnja 22, inače bismo dobili afinu funkciju.

Graf kvadratne funkcije je parabola. Ukoliko je a>0a\gt 0, parabola gleda prema gore, a ukoliko je a<0a\lt 0, ona gleda prema dolje. Svaka parabola ima tjeme, koje se najlakše odredi ukoliko je kvadratna funkcija napisana u obliku bez srednjeg člana, što postižemo korisnom metodom dopunjavanja do na kvadrat. Najjednostavnije je tu metodu uvesti na slučaju kad je a=1a = 1.

Dakle, želimo unarni polinom x 2+px+qx^2 + p x + q napisati kao kvadrat pomaknutog xx-a plus neka konstanta. No, primijetimo da je

(x+p/2) 2=x 2+pxp 24, (x + p/2)^2 = x^2 + p x - \frac{p^2}{4},

pa je dakle x 2+px+q=(x+p/2) 2+qp 2/4x^2 + p x + q = (x+p/2)^2 + q-p^2/4. To je u obliku kojeg smo željeli, (x+p/2) 2(x + p/2)^2 plus konstanta koja je qp*p/4q - p*p/4; nema srednjeg (linearnog) člana. Visina tjemena grafa parabole je minimalna kad je kvadrat (x+p/2) 2(x+p/2)^2 minimalan, a to je za x=p/2x = -p/2 i tada je y=qp 2/4y = q - p^2/4.

Ako je kvadratni polinom općenitiji, tj. a1a\neq 1, tada taj a izlučimo van i istu proceduru napravimo unutar zagrade. Dakle,

ax 2+bx+c=a(x 2+bax+ca)=a[(x+b2a) 2+cab 24a 2] a x^2 + b x + c = a \left(x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = a \cdot \left[(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4 a^2}\right]

Tjeme je dakle kad je kvadratni član nula, dakle za x T=b/(2a)x_T = -b/(2a) (T označava tjeme). Ako u cijeli izraz uvrstimo taj xx, ostane nam ordinata tjemena

y T=a[0+c/ab 24a 2]=cb 24a=4acb 24a. y_T = a\cdot\left[0 +c/a - \frac{b^2}{4 a^2}\right] = c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4 a c - b^2}{4 a}.

Kvadratna jednadžba je jednadžba

ax 2+bx+c=0 a x^2 + b x + c = 0

tj. a[(x+b2a) 2+cab 24a 2]=0a \cdot \left[(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4 a^2}\right] = 0.

i ako je a0a\neq 0, podijelimo s aa i dobijemo ekvivalentnu jednadžbu

(x+b2a) 2+cab 24a 2=0. (x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4 a^2} = 0.

i ako prebacimo zadnja dva sumanda na desnu stranu,

(x+b2a) 2=b 24ac4a 2 (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4 ac}{4 a^2}

Dakle, (x+b2a) 2=±b 24ac4a 2(x + \frac{b}{2a})^2 = \pm \frac{b^2 - 4 a c}{4 a^2}. To je razlomak, pa možemo korijenovati brojnik i podijeliti s korijenom nazivnika. Kako je (2a) 2=4a 2(2 a)^2 = 4 a^2, dobivamo

x+b2a=±b 24ac2a. x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}.

Iz toga lako dobijemo

x=b2a±b 24ac2a x = - \frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}

Naravno, ukoliko je b 24ac<0b^2 - 4 a c\lt 0, tada su nam za rješenje potrebni kompleksni brojevi.

category: zadarmat3

Created on October 20, 2020 at 17:43:17. See the history of this page for a list of all contributions to it.