Zoran Skoda
m1 zimski1 2018

Ovo su zadaci s prvog roka

1.1. Neka su A,B,CA,B,C skupovi i RR neki predikat koji uzima dva argumenta. Napiši matematičkim simbolima izraz: skup svih parova (a,b)(a,b) iz A×BA\times B takvih da za svaki cc iz CC vrijedi ili R(a,b,c)R(a,b,c) ili R(b,a,c)R(b,a,c).

2.2. Populacija riba u nekom ribnjaku raste tokom deset godina svake godine za 33 posto u odnosu na godinu prije toga. Za koliko posto se poveća broj riba za dvanaest godina ?

3.3. Tome je oročio na 7 godina 20,00020,000 eura s kamatom od 55 posto, koja se obračunava samo na kraju oročenja, tj. nema kamata na kamate (jednostavni kamatni račun). Koliko eura Tome ima na kraju oročenja ?

4.4. Luce je uzela kredit od 120,000120,000 kuna na 55 godina s jednim obrokom otplate na kraju svake godine s kamatnom stopom 1010 posto na tekući neotplaćeni dio glavnice. Kolike su rate kredita na kraju prve, druge, treće, četvrte i pete godine ako se uvijek otplaćuje jednaki dio glavnice i k tome tekuća kamata ?

5.5. Novčić od 10 lipa bacamo 9 puta. S jedne strane je brojka od 10 lipa, a s druge je list duhana. Koja je vjerojatnost da će točno 22 puta novčić pasti na stranu s duhanom, a 77 puta na stranu s brojkom ?

6.6. Pet pasa labradora i četiri terijera su u dvorištu uzgajivača pasa. Na koliko načina može izabrati tri labradora i dva terijera za izložbu ?

7.7. Izračunaj 1+352+210(25) 2\frac{1+\frac{-3}{5}}{2 + \frac{2}{10}} -\left(\frac{2}{5}\right)^2.

8.8. a) Koliko funkcija postoji iz skupa od 33 elemenata u skup od 55 elemenata ?

(odgovor: svakom od 33 elementa prvog skupa možemo pridružiti bilo koji od 55 elemenata drugog skupa; dakle 5×5×5=1255\times 5\times 5 = 125 kombinacija pridruživanja, dakle 125 funkcija)

b) Koliko injekcija ? (odgovor: 5×4×3=605\times 4\times 3 = 60) injekcija)

9.9. Ako trojici radnika treba 88 sati da naprave neki posao, koliko radnika treba raditi trostruko ve'ci posao ako imaju 99 sati vremena ?

Odgovor: napravljeni posao je proporcionalan broju radnika i broju sati, pa ako za posao treba 3×83\times 8 radnik-sati za trostruko veći treba 3×3×83\times 3\times 8 radnik-sati; to posti\emo s xx radnika za 99 sati, što je 9x9 x radnik-sati. Dakle 9x=3×3×89 x = 3\times 3\times 8, dakle x=3×3×8/9=8x = 3\times 3\times 8/9 = 8 radnika.

10.10. Koji su realni dio Re(z)\mathrm{Re}(z), imaginarni dio Im(z)\mathrm{Im}(z), apsolutna vrijednost |z||z| i argument arg(z)\mathrm{arg}(z) kompleksnog broja (kut radijus vektora od 00 do zz s realnom poluosi) z=2+i32iz = \frac{2+i}{3-2i} ?

11.11. Napiši broj koji je u bazi 55 napisan kao (1041) 5(1041)_{5} u bazi 1010.

Odgovor: 1×5 3+0×5 2+4×5 1+1×5 0=1461\times 5^3 + 0\times 5^2+ 4\times 5^1 + 1\times 5^0 = 146

12.12. Ako pomiješamo 3 litre 20-postotnog alkohola, 4 litre 50-postotnog i 5 litara 60-postotnog koliko postotni će alkohol biti u smjesi ?

13.13. Napiši beskonačni decimalni broj 87.654545487.6545454\ldots kao razlomak.

14.14. Ako su funkcije f,g:NNf,g:\mathbf{N}\to\mathbf{N} dane s

f(n)={2n1,n6 n+1,n5 f(n) = \left\lbrace \begin{array}{l} 2 n-1,\,\,n\geq 6 \\ n+1,\,\,n\leq 5 \end{array} \right.

i g(n)=n+4g(n) = n+4 napiši formule koje zadaju funkciju h=gfh=g\circ f.

15.15. Ako za veliku tortu treba 55 jaja, pola kile brašna i 3030 dag šećera, koliko treba brašna i šećera za manju tortu istog sastava u koju ulaze 33 jaja ?

16.16. Matematičkom indukcijom dokaži da za svaki prirodni broj nn vrijedi

12+23+34+.....+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ..... + n\cdot (n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}

category: zadarmat1

Created on February 13, 2018 at 17:40:16. See the history of this page for a list of all contributions to it.