Zoran Skoda m1 zimski1 2018

Ovo su zadaci s prvog roka

$1.$ Neka su $A,B,C$ skupovi i $R$ neki predikat koji uzima dva argumenta. Napiši matematičkim simbolima izraz: skup svih parova $(a,b)$ iz $A\times B$ takvih da za svaki $c$ iz $C$ vrijedi ili $R(a,b,c)$ ili $R(b,a,c)$.

$2.$ Populacija riba u nekom ribnjaku raste tokom deset godina svake godine za $3$ posto u odnosu na godinu prije toga. Za koliko posto se poveća broj riba za dvanaest godina ?

$3.$ Tome je oročio na 7 godina $20,000$ eura s kamatom od $5$ posto, koja se obračunava samo na kraju oročenja, tj. nema kamata na kamate (jednostavni kamatni račun). Koliko eura Tome ima na kraju oročenja ?

$4.$ Luce je uzela kredit od $120,000$ kuna na $5$ godina s jednim obrokom otplate na kraju svake godine s kamatnom stopom $10$ posto na tekući neotplaćeni dio glavnice. Kolike su rate kredita na kraju prve, druge, treće, četvrte i pete godine ako se uvijek otplaćuje jednaki dio glavnice i k tome tekuća kamata ?

$5.$ Novčić od 10 lipa bacamo 9 puta. S jedne strane je brojka od 10 lipa, a s druge je list duhana. Koja je vjerojatnost da će točno $2$ puta novčić pasti na stranu s duhanom, a $7$ puta na stranu s brojkom ?

$6.$ Pet pasa labradora i četiri terijera su u dvorištu uzgajivača pasa. Na koliko načina može izabrati tri labradora i dva terijera za izložbu ?

$7.$ Izračunaj $\frac{1+\frac{-3}{5}}{2 + \frac{2}{10}} -\left(\frac{2}{5}\right)^2$.

$8.$ a) Koliko funkcija postoji iz skupa od $3$ elemenata u skup od $5$ elemenata ?

(odgovor: svakom od $3$ elementa prvog skupa možemo pridružiti bilo koji od $5$ elemenata drugog skupa; dakle $5\times 5\times 5 = 125$ kombinacija pridruživanja, dakle 125 funkcija)

b) Koliko injekcija ? (odgovor: $5\times 4\times 3 = 60$) injekcija)

$9.$ Ako trojici radnika treba $8$ sati da naprave neki posao, koliko radnika treba raditi trostruko ve'ci posao ako imaju $9$ sati vremena ?

Odgovor: napravljeni posao je proporcionalan broju radnika i broju sati, pa ako za posao treba $3\times 8$ radnik-sati za trostruko veći treba $3\times 3\times 8$ radnik-sati; to posti\emo s $x$ radnika za $9$ sati, što je $9 x$ radnik-sati. Dakle $9 x = 3\times 3\times 8$, dakle $x = 3\times 3\times 8/9 = 8$ radnika.

$10.$ Koji su realni dio $\mathrm{Re}(z)$, imaginarni dio $\mathrm{Im}(z)$, apsolutna vrijednost $|z|$ i argument $\mathrm{arg}(z)$ kompleksnog broja (kut radijus vektora od $0$ do $z$ s realnom poluosi) $z = \frac{2+i}{3-2i}$ ?

$11.$ Napiši broj koji je u bazi $5$ napisan kao $(1041)_{5}$ u bazi $10$.

Odgovor: $1\times 5^3 + 0\times 5^2+ 4\times 5^1 + 1\times 5^0 = 146$

$12.$ Ako pomiješamo 3 litre 20-postotnog alkohola, 4 litre 50-postotnog i 5 litara 60-postotnog koliko postotni će alkohol biti u smjesi ?

$13.$ Napiši beskonačni decimalni broj $87.6545454\ldots$ kao razlomak.

$14.$ Ako su funkcije $f,g:\mathbf{N}\to\mathbf{N}$ dane s

$$f(n) = \left\lbrace \begin{array}{l} 2 n-1,\,\,n\geq 6 \\ n+1,\,\,n\leq 5 \end{array} \right.$$

i $g(n) = n+4$ napiši formule koje zadaju funkciju $h=g\circ f$.

$15.$ Ako za veliku tortu treba $5$ jaja, pola kile brašna i $30$ dag šećera, koliko treba brašna i šećera za manju tortu istog sastava u koju ulaze $3$ jaja ?

$16.$ Matematičkom indukcijom dokaži da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi

$$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ..... + n\cdot (n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$$

category: zadarmat1