Zoran Skoda mat1-270121

KOMPLEKSNI BROJEVI

Želimo moći riješiti jednadžbu

$$x^2 = -1$$

u nekom brojevnom sustavu koji proširuje obične realne brojeve. Ako je rješenje gornje jednadžbe neki broj

i kojeg možemo zvati i korijen iz -1

tada možemo riješiti i jednadžbu

$x^2 = - 9$ i slične jer bi trebalo biti

da $(3 i)^2 = i^2\cdot 3^2 = - 9$

Također ako je $i^2 = -1$ tada je i $(-i)^2 = (-1)^2$ $i^2=-1$

Kompleksni brojevi su parovi realnih brojeva sa množenjem

$(a,b)\cdot (c,d) := (a c-b d,a d+b c)$

i zbrajanjem

$(a,b)+(c,d) := (a+c,b+d)$

Svaki realni broj možemo identificirati s kompleksnim brojem kojem je drugi element u paru $0$, dakle identificiramo realni broj s prvim brojem u paru tj. gledamo kao da postoji identifikacija. $(a,0) = a$. Zapravo definiramo injekciju $x\mapsto (x,0)$ skupa $\mathbf{R}$ u skup kompleksnih brojeva $\mathbf{C}$ koju ćemo promatrati kao identifikaciju, tj. ne razlikujemo $a$ od njene slike, tj. para $(a,0)$ za svrhe računanja s kompleksnim brojevima. To možemo raditi zato što je funkcija injekcija pa se ne gubi informacija gledamo $a$ ili njenu sliku, a jednako se i množe i zbrajaju kao realni brojevi:

$(a,0)\cdot(c,0) = (a\cdot c,0)$

$(a,0)+(c,0) = (a+ c,0)$

S druge strane ako gledamo drugu komponentu u paru, tada se ponaša kao traženo rješenje jednadžbe $x^2 = -1$ koje zovemo $i$. Dakle našli smo $i$,

$(0,1)\cdot(0,1) = (-1,0) = -1$

$(0,1) =: i$

Probajmo sad pomnožiti realni i kompleksni broj. Po definiciji, realni broj $a$ bi se trebao ponašati kao kompleksni broj $(a,0)$, dakle

$f\cdot(a,b) = (f,0)\cdot(a,b) = (f\cdot a,f\cdot b)$

$(a,b) = (a,0) + (0,b) = a + b\cdot(0,1) = a + b i$

$(a+b i)\cdot(c+ d i) =a c + b c i + a d i+ b i d i$

$= (a c - b d) + (b c + a d) i$

$z = x + i y$ , kompleksno konjugirani je x - i y

$x$ i $y$ su dva realna broja,

$x = Re(z)$ je realni dio kompleksnog broja $z$,

$y = Im(z)$ je imaginarni dio kompleksnog broja $z$

$i = i 1$ je imaginarni broj (znači da mu je realni dio $0$), njegov imaginarni dio je $1$, a ne $i$. Dakle imaginarni dio broja je realni broj, da vas ne zbuni jezik. Apsolutna vrijednost ili modul kompleksnog broja

$$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$