Zoran Skoda mat4-030321

Simetrija – gledamo operacije koje ne mijenjaju bitna svojstva

Izomorfizam – preslikavanja, metamorfoze koje ne mijenjaju bitna svojstva, recimo pravila igre, bijekcija između elemenata koja čuva uloge svih elemenata

Izomorfizam

igra: šah, pravila šaha ne zavise o materijalu od kojeg su napravljene figure

GG i HH dvije grupe

f:GHf:G\to H preslikavanje skupova takvo da

1) f(gg)=f(g)f(g)f(g \cdot g') = f(g) \cdot f(g') za svaka dva elementa g,gGg,g'\in G

2) f(1 G)=1 Hf(1_G) = 1_H

(to zovemo homomorfizam grupa)

3) ff je bijekcija – tada kažemo izo (isti)

Općenito, ako su XX, YY skupovi, za preslikavanje f:XYf:X\to Y inverz je preslikavanje f 1:YXf^{-1}:Y\to X sa svojstvom

f 1(y)=xf^{-1}(y) = x onda i samo onda ako f(x)=yf(x) = y, za sve xXx\in X, yYy\in Y

ako takvo preslikavanje postoji. Ako postoji ono je automatski jedinstveno i samo je bijekcija. Također, inverz inverza je početno preslikavanje.

f:AB,g:BCf : A\to B, g: B\to C onda je definirana kompozicija gf:ACg\circ f : A\to C

(kompozicija preslikavanja je parcijalno definirana operacija na skupu preslikavanja podskupova nekog univerzalnog skupa)

ff 1=id Af\circ f^{-1} = id_A

f 1f=id Bf^{-1}\circ f = id_B

Postoji samo ako je ff bijekcija.

Propozicija. Ako je f:GHf:G\to H izomorfizam onda je f 1f^{-1} isto izomorfizam.

Dokaz. 1) f 1(hh)=f 1(f(g)f(g))f^{-1}(h h') = f^{-1}(f(g) f(g')) primijenimo na to ff

pošto je bijekcija, h=f(g)h = f(g), h=f(g)h' = f(g') za neke

f 1(hh)=f 1(f(g)f(g))=f 1(f(gg))=gg=f 1(h)f 1(h) f^{-1}(h h') = f^{-1}(f(g) f(g')) = f^{-1} (f(g g')) = g g' = f^{-1}(h) f^{-1}(h')

dakle f 1f^{-1} je isto homomorizam

2) f(1 G)=1 Hf(1_G) = 1_H to znači da je f 1(1 H)=1 Gf^{-1}(1_H) = 1_G

3) inverz bijekcije je bijekcija (matematika 1)

Created on March 3, 2021 at 14:02:31. See the history of this page for a list of all contributions to it.