Zoran Skoda mat4-030321

Simetrija – gledamo operacije koje ne mijenjaju bitna svojstva

Izomorfizam – preslikavanja, metamorfoze koje ne mijenjaju bitna svojstva, recimo pravila igre, bijekcija između elemenata koja čuva uloge svih elemenata

Izomorfizam

igra: šah, pravila šaha ne zavise o materijalu od kojeg su napravljene figure

$G$ i $H$ dvije grupe

$f:G\to H$ preslikavanje skupova takvo da

1) $f(g \cdot g') = f(g) \cdot f(g')$ za svaka dva elementa $g,g'\in G$

2) $f(1_G) = 1_H$

(to zovemo homomorfizam grupa)

3) $f$ je bijekcija – tada kažemo izo (isti)

Općenito, ako su $X$, $Y$ skupovi, za preslikavanje $f:X\to Y$ inverz je preslikavanje $f^{-1}:Y\to X$ sa svojstvom

$f^{-1}(y) = x$ onda i samo onda ako $f(x) = y$, za sve $x\in X$, $y\in Y$

ako takvo preslikavanje postoji. Ako postoji ono je automatski jedinstveno i samo je bijekcija. Također, inverz inverza je početno preslikavanje.

$f : A\to B, g: B\to C$ onda je definirana kompozicija $g\circ f : A\to C$

(kompozicija preslikavanja je parcijalno definirana operacija na skupu preslikavanja podskupova nekog univerzalnog skupa)

$f\circ f^{-1} = id_A$

$f^{-1}\circ f = id_B$

Postoji samo ako je $f$ bijekcija.

Propozicija. Ako je $f:G\to H$ izomorfizam onda je $f^{-1}$ isto izomorfizam.

Dokaz. 1) $f^{-1}(h h') = f^{-1}(f(g) f(g'))$ primijenimo na to $f$

pošto je bijekcija, $h = f(g)$, $h' = f(g')$ za neke

$$f^{-1}(h h') = f^{-1}(f(g) f(g')) = f^{-1} (f(g g')) = g g' = f^{-1}(h) f^{-1}(h')$$

dakle $f^{-1}$ je isto homomorizam

2) $f(1_G) = 1_H$ to znači da je $f^{-1}(1_H) = 1_G$

3) inverz bijekcije je bijekcija (matematika 1)