Zapis dijela lekcije 19.11.2020.
UVJETNA VJEROJATNOST
A = događaj čija nas uvjetna vjerojatnost zanima
B = događaj kojeg pretpostavljamo da će se desiti
Znači sav svijet je unutar B.
P(A) obična vjerojatnost
P(A ako znamo da je B) = P(A | B) = n(A i B)/n(B)
P(A) = n(A)/n(ukupno) (relativna frekvencija ako mjerimo konačno mnogo puta)
P(A i B) = n(A i B)/n(ukupno)
pa kombiniramo u
Primjer. Pretpostavimo da su događaji
A = događaj da je sutra kiša B = događaj da je sutra manje od 10 stupnjeva Celzijusa
Ukupno mjereno 25 puta što se desi u studenom.
10 dana je niti A niti B P(neA i neB)=10/25
5 dana je A a nije B P(A i neB)=5/25
6 dana je B a nije A P(neA i B)=6/25
4 dana je i manje od 10 stupnjeva i pada kiša P(A i B)=4/25
vjerojatnost od A P(A) = P(A i neB)+P(A i B) = 9/25
vjerojatnost od B n(B)=10, P(B) = 10/25
vjerojatnost od A ako B
P(A|B)= n(A i B)/n(B) = 4/10
P(A | B) = P(A i B)/P(B) = (4/25)/(10/25) = 4/10
P(kiša ako manje od 10 stupnjeva) = 4/10
P(B | A) = 4/9
Totalna vjerojatnost ako ima više mogućnosti (kanali)
su međusobno isključivi događaji
i zajedno su sve: ili ili se mora desiti
podijeljeno sa
i omjer je Bayesova formula!
Tvornica cipela. Proizvode se dvije vrste cipela, visoke i niske. I kod visokih cipela je vjerojatnost da je cipela s greškom je 5%. Kod niskih cipela je vjerojatnost 3%. U dućanu je 45 visokih cipela i 35 niskih cipela iz te tvornice. Znamo da je Martin ušao u dućan i kupio cipelu s greškom. Pretpostavljamo da je kupio cipelu nasumce. Koja je vjerojatnost da je ta cipela visoka ?
Tri osnovna događaja:
uzeta visoka cipela V
uzeta niska cipela N
uzeta cipela s greškom G
P(G|V) = 0.05, P(V)=45/80, P(G|N) = 0.03, P(N)=35/80
PITANJE: Nađi P(V|G)
V i N su dva međusobno isključiva kanala
Bayesova formula
Milan posjećuje svoju baku na selu. Na selu ima pasa koji grizu. Ima dva načina da posjeti baku, jedan je preko brda, a drugi je dolinom. Ako ide preko brda, vjerojatnost da sretne psa je 20%, a ako ide dolinom onda je 40%. Milan posjeti baku svake nedjelje, i svake treće nedjelje od toga ide dolinom. Jedne nedjelje nasumce i mi dođemo kod Milanove bake, kad ono dolazi Milan sav uspuhan da ga je ganjao pas. Kolika je vjerojatnost da je Milan išao dolinom ?
G sreo psa/ganjao pas D dolinom B brdom
P(D)=1/3
P(B)=2/3
P(G|B)=0.2
P(G|D)=0.4
D i B su kanali/staze
Pitanje: P(D|G)=?
P(D|G) = P(D i G)/P(G)
P(D i G) = P(D)\cdot P(G|D) = (1/3)\cdot 0.4=2/15
P(G) = (1/3)\cdot 0.4+(2/3)\cdot 0.2 = 2/15+2/15=4/15
P(D|G)=(2/15)/(4/15)= 2/4 = 0.05 = 50%
SLUČAJNA VELIČINA
Veličina koja zavisi od ishoda eksperimenta, odnosno zavisi od slučajnog događaja.
Bacanje kocke. Bacamo kocku 2 puta i gledamo zbroj
Z = b1 + b2 ovisi o dva bacanja
Ishodi: (1,1),(1,2),(1,3),…,(2,1),(2,2),…,(6,6)
36 ishoda
kocka je fer (pravedna igra!) ako je svih 6 brojeva u svakom bacanju jednako vjerojatno, pa onda i svih 36 kombinacija
Z ovisi o tome koji je ishod
Koliko je Z u prosjeku ?
ZBROJITI po svim slučajevima
(expectation)
matematičko očekivanje ili matematička nada
1/36\cdot 2 <– (1,1)
Z = 2 u 1 slučaju (1,1)
3 u 2 slučaja (1,2), (2,1)
4 u 3 slučaja (1,3),(2,2),(3,1)
5 ima u 4 slučaja (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
6 u 5 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)
7 u 6 (1,6),…,(6,1)
8 u 5 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)
9 u 4
10 u 3
11 u 2
12 u 1 (6,6)
itd.
2 + 6+ 12+20 +30+42+40+36+30+22+12= 252
prosjek je E[X]=252/36 = 7
varijanca
isto varijanca
je odstupanje od očekivanja
je kvadratno odstupanje od očekivanja
je onda očekivanje (ili prosjek) kvadratnog odstupanja od očekivanje
Korijen od varijance je standardno odstupanje.
Matematička nada veličine broj crnih kuglica koje izvučem ako nasumce izvučem 2 kuglice iz urne od 5 kuglica u kojoj su 3 crne i 2 bijele kuglice ?
zbroj E[X] je 0+0.6+0.6=1.2 crne kuglice u prosjeku
U ruku smo stavili slučajni odabir 4 karte od 32. 4 boje puta 8 po skali = 32.
dajemo bodove: svakom trefu (to je boja) dajemo 1 bod i svakom svakom asu dajemo jedan bod
Nađi očekivanje ukupnog broja bodova od slučajne karte.
X – slučajna veličina – broj bodova
ukupno mogućih (32 izaberi 4) je
X je od 0 do 5. Od 32 karte imamo At (as tref), 3 druga asa (A), 7 drugih trefova (t) i 21 ostala karta (0). Ti brojevi 3,7,21 se često pojavljuju dolje.
At, A, A,A -> slučaj
At, A, A,t ->
At, A, t, t ->
At, t,t,t ->
ukupno 1+21+63+35= 120
vjerojatnost 120/35960
doprinos očekivanju
At,A,A,0 ->
At,A,t,0 ->
At,t,t,0 ->
A,A,t,t ->
A,t,t,t ->
A,A,A,t ->
t,t,t,t ->
A,A,A,A -> 0 načina( jedan bi morao biti At)
ukupno 63+441+441+63+105+7+35=1155
vjerojatnost 1155/35960
doprinos očekivanju
A,A,A,0 –>
A,A,t,0 –>
A,t,t,0 –>
t,t,t,0 –>
At,A,0,0 –>
At,t,0,0 –>
ukupno 21+441+1323+735+630+1470=4620
vjerojatnost 5061/35960
doprinos očekivanju
At,0,0,0
A,t,0,0
A,A,0,0
t,t,0,0
ukupno 1330+4410+630+4410=10780
vjerojatnost 10780/35960
doprinos očekivanju
A,0,0,0 –>
t,0,0,0 –>
ukupno
doprinos očekivanju
0 0 0 0 (4 prazne od 21 karte)
vjerojatnost je 5985/35960
doprinos očekivanju
Ukupan broj slučajeva za 0,1,2,3,4 i 5 bodova je
120+1155+4620+10780+13300+5985=35960
što je točno , dakle sve smo slučajeve pravilno pobrojili!
Očekivanje je zbroj doprinosa
Rezultat je neobično jednostavan! Prosječno skupimo jedan i pol bod.
OPASKA: (7 izaberi 4) = (7 izaberi 3) jer je 3+4=7, a izabrati 4 je isto što izostaviti odabrana 3.
Last revised on December 4, 2020 at 12:40:09. See the history of this page for a list of all contributions to it.