Zoran Skoda normalna razdioba

Slučajna veličina $X$ se ponaša po normalnoj razdiobi sa standardnom devijacijom $\sigma$ i srednjom vrijednosti $\mu$ ako je gustoća vjerojatnosti dana formulom

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

pri čemu $X$, $x$, $\mu$ i $\sigma$ moraju biti u istim jedinicama.

Očekivanje normalne (Gaussove ili “normalno raspodijeljene”) slučajne veličine je

$$E[X] = \mu,$$

a varijanca je

$$Var[X] = \sigma^2$$

Kumulativna vjerojatnost (nekad zvana i funkcija razdiobe) je

$$P(X\leq x)$$

i ona raste od $0$ do $1$ kad $X$ ide od jako dalekih negativnih vrijednosti prema jako velikim pozitivnim; ta funkcija je $0.5$ upravo za $X = \mu$.

Posebno je značajan slučaj kad je $\mu = 0$ i $\sigma = 1$ koji zovemo jedinična normalna razdioba,

$$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$$

u kojem slučaju slučajnu varijablu obično označavamo sa $Z$, a kumulativnu vjerojatnost funkcijom $\Phi$ za koju postoje tablice i online kalkulatori.

Vjerojatnosti $P(X\leq x)$ možemo odrediti prema sličnosti sa jediničnim slučajem. Ukupna vjerojatnost dakle površina ispod krivulje $f(x)$ je $1$. Pomaknemo krivulju da srednja vrijednost padne u nulu, to znači da oduzmemo srednju vrijednost. Onda još tu funkciju moramo spljoštiti za faktor $\sigma$. Dakle moramo promatrati pripadnu jediničnu normalnu varijablu za vrijednost $z = \frac{x-\mu}{\sigma}$. Izlazi da

$$P(X\leq x) = P\left(Z\leq \frac{z - \mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{z-\mu}{\sigma}\right)$$

$$P(x_1\leq X\leq x_2) = P(X\leq x_2) - P(X\leq x_1) = \Phi\left(\frac{z_2-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{z_1-\mu}{\sigma}\right)$$

$$P(X\gt x) = 1 - P(x\leq X) = 1 - \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$

Tablice za $\Phi$ na dvije decimale se mogu naći u udžbeniku iz Varaždina. Ovdje su te dvije tablice i jedna tablica s kritičnim vrijednostima za hi-kvadrat-razdiobu: https://www2.irb.hr/korisnici/zskoda/PhiHikvadrattablice.pdf