Zoran Skoda parametrizacije u geometriji

Neka je $E$ prostor ili ravnina. Krivulju zamišljamo kao interval $I = (a,b)\subset\mathbf{R}^2$ brojevnog pravca preslikanog u ravninu ili prostor, pri čemu je dozvoljeno svijanje. Obično želimo da je to preslikavanje $\gamma: I\to E$ neprekidno i (barem po dijelovima, tj. osim konačno mnogo šiljaka) glatko i da je barem lokalno injekcija. Interval može biti i zatvoren, tipa $I = [a,b]$. Ukoliko je tako i $\gamma(a) = \gamma(b)$ (preslikavanje se podudara na krajevima), tada kažemo da je krivulja zatvorena – njena početna i završna točka se podudaraju, kao da smo išli nekamo i vratili se u krug.

Parametrizirana krivulja je dakle preslikavanje $\gamma:I\to E$. Nekad promatramo krivulju kao sliku tog preslikavanja. S točke gledanja, možemo izabrati različite parametrizacije s istom slikom. Varijabla $t$ koja poprima vrijednosti u $I$, argument je parametrizacije i nazivamoga parametrom. Danom parametru $t$ odgovara element $\gamma(t)$ kojeg nazivamo točka na krivulji parametrizirana s $t$.

Uvedemo li Kartezijev koordinatni sustav na $E$ s ishodištem kojeg označimo s $O$, tada točka $\gamma(t)$ ima svoj radijusvektor $\vec{r}(t) = \vec{O\gamma(t)}$, koji pak ima svoje komponente. Recimo, u 3 dimenzionalnom slučaju, $\vec{r}(t) = (x(t),y(t),z(t))$.

Slika parametrizirane krivulje je pravac, ako i samo ako su komponente afine funkcije, pri čemu barem jedna nije konstanta i interval je cijeli $\mathbf{R}$. Afine funkcije su funkcije oblika $t\mapsto a t + b$ i u našem slučaju barem za jednu komponentu vrijedi $a\neq 0$.

$\vec{p}(t) = (2 t, t -1)$ je primjer pravca u koordinatnoj ravnini, a $\vec{r}(t) = (3t-5,-t+8,-4t)$ primjer pravca u 3d prostoru. Možemo pisati i to kao sustav

$$\array{ x(t) = 3 t - 5\\ y(t) = -t + 8\\ z(t) = -4t }$$

Općenito o jednadžbama pravaca u prostoru vidi moj video yt:0u3EYjsraYI

Funkcije u neku kodomenu koja je neki skup vektora (ovdje radijusvektora) možemo zvati vektorskim funkcijama. Dakle, parametrizirane krivulje su vektorske funkcije zadane na intervalu.

Primjer parametrizirane krivulje je jedinična kružnica s centrom u ishodištu,

$$\array{ x(\theta) = cos(\theta)\\ y(\theta) = sin(\theta) }$$

gdje je $\theta \in I = [0,2\pi]$ mjera kuta između pozitivne poluosi osi $x$ i radijusvektora točke na kružnici (vidi trigonometrijske funkcije). Ako želimo da kružnica ima radijus $R\neq 1$ tada reskaliramo, a ako je njeno središte s koordinatama $(x_0,y_0)$ tada koordinatama dodajemo radijus vektor tog središta

$$\array{ x(\theta) = R cos(\theta) + x_0\\ y(\theta) = R sin(\theta) + y_0 }$$

U paketu geogebra, krivulju $[a,b]\to\mathbf{R}^2, t\mapsto (x(t),y(t))$ zadajemo sa

Curve(x(t),y(t),t,a,b)

Sam parametar se može reskalirati, tako da će slika te krivulje biti ista ako je zadamo sa, recimo,

Curve(x(t/2),y(t/2),t,2 a, 2 b)

Na primjer kružnicu sa središtem u točki $(3,4)$ i polumjera $R = 2$ zadajemo sa Curve(2 cos(t)+3,2 sin(t)+4).

Krivulju u prostoru zadajemo u obliku

Curve(x(t),y(t),z(t),t,a,b).

Na primjer, spirala u gornjoj poluravnini, koja se podiže u smjeru $z$ osi kojoj je projekcija u $x y$-ravninu kružnica radijusa $3$ i koja se kod svakog punog kruga (porast parametra za $2\pi$) popne za 5, i 5 puta se omota do kraja intevala, se može zadati sa

$$Curve(3 cos(t), 3 sin(t), \frac{5}{2\pi} t, t, 0, 10\pi)$$

Slično možemo promatrati plohe koje su slika male krpice u ravnini, recimo pravokutnika $I^2 = [a,b]\times[c,d]\subset\mathbf{R}^2$. Takve parametrizirane plohe su dane vektorskom funkcijom para argumenta $u\in[a,b]$ i $v\in[c,d]$ koji je ekvivalentan jednom parametru u $I^2$. Na primjer, možemo promatrati parametriziranu sferu radijusa $R$ sa središtem u ishodištu

$$\array{ x(t) = R sin(u) cos(v)\\ y(t) = R sin(u) sin(v)\\ z(t) = R cos(v) }$$

gdje je $u\in[0,\pi]$, $v\in[0,2\pi]$. Geometrijski $u$ interpretiramo kao mjeru neorijentiranog kuta između jediničnog vektora $\vec{k}$ u smjeru pozitivne poluosi osi $z$ i radijus vektora točke na sferi. Geometrijski $v$ interpretiramo kao mjeru orijentiranog kuta između jediničnog vektora $\vec{i}$ u smjeru osi $x$ i projekcije radijus vektora na ravninu $x y$. Duljina te projekcije je $R sin(u)$.

Ma koja ravnina u $\mathbf{R}^3$ se može parametrizirati u obliku vektorske funkcije čije komponente su afine realne funkcije dva realna argumenta. Drugim riječima, $\mathbf{R}^2\ni (u,v)\mapsto (d_x u + e_x v + C_x, d_y u + e_y v + C_y, d_z u + e_z v + C_z)\in\mathbf{R}^2$ gdje je barem jedan od tri broja $d_x,d_y,d_z$ različit od nule, i barem jedan od tri broja $e_x,e_y,e_z$ različit od nule. Ako jedan ili oba uvjeta neiščezavanja ne vrijede onda efektivno nestane jedan ili oba parametra i ravnina se degenerira u točku. Ako stavimo $(u,v) = (0,0)$ tada vidimo da, među ostalim, točka $C = (C_x,C_y,C_z)$ leži na parametriziranoj ravnini. Za $(u,v) = (1,0)$ dobijemo da $A = (d_x + C_x, d_y + C_y, d_z + C_z)$ također leži na toj ravnini te za $(u,v) = (0,1)$ dobijemo da i $B = (e_x + C_x, e_y + C_y, e_z + C_z)$ leži na toj ravnini. Obratno, ako su $A = (A_x,A_y,A_z)$, $B = (B_x,B_y,B_z)$ i $C = (C_x,C_y,C_z)$ tri nekolinearne točke tada zadajmo parametrizaciju ravnine kroz te tri točke gornjim formulama s $d_x = A_x - C_x$, $d_y = A_y - C_y$, $d_z = A_z - C_z$, $e_x = B_x - C_x$, $e_y = B_y - C_y$ i $e_z = B_z - C_z$. Dakle $\vec{d} = \vec{C A}$, $\vec{e} = \vec{C B}$. Ma koja točka na ravnini se dobije tako da krenemo iz točke $C$ i translatiramo za $u\vec{C A} + v\vec{C B}$, za toj točki jedinstvene odgovarajuće vrijednosti parametara $u,v\in\mathbf{R}$.

category: zadarmat3, zadarmat4