Zoran Skoda primjeri parametrizacije pravca

Dane su dvije točke u ravnini, u koordinatama, $A(-4.67,2.18), B(-2.09,1.32)$. Tada su komponente vektora $\vec{a} = \vec{A B}$ dane sa

$$a_x = x_{A B} = x_B - x_A = -2.09 -(-4.67)= 2.58$$

$$a_y = y_{A B} = y_B - y_A = 1.32 - 2.18 = - 0.86$$

Svaki drugi vektor uzduž pravca je višekratnik vektora $\vec{A B}$. Definiramo ma koju točku $T$ na pravcu kao točku za koju je $\vec{A T} = t \vec{A B}$ za neki realni broj $t$. Na primjer, za $t = 2$ dobivamo točku $C$ i pripadni vektor $\vec{A C}$ čije su komponente

$$x_{A C} = 2 x_{A B} = 5.16 = x_C - x_A = x_C + 4.67$$

$$y_{A C} = 2 y_{A B} = 2\cdot (-0.86) = - 1.72$$

Pišemo $C = A + \vec{A C}$ čime označavamo translaciju točke $A$ za vektor $\vec{A C}$.

To znači da su pripadne koordinate od $A$ i $C$

$$x_C = x_A + x_{A C} = x_A + 2 x_{A B} = - 4.67 + 5.16 = 0.49$$

$$y_C = y_A + y_{A C} = 2.18 - 1.72 = 0.46$$

Tako smo dobili točku

$$C(0.49,0.46)$$

Općenitije, mogli smo gledati ma koju točku $T$ na tom pravcu kao

$$T = A + \vec{A T} = A + t\vec{A B},\,\,\,\,\,\,t\in\mathbf{R}$$

$$x_T = x_A + t x_{A B} = -4.67 + 2.58 t$$

$$y_T = y_A + t y_{A B} = 2.18 - 0.86 t$$

$$T(-4.67 + 2.58 t , 2.18 - 0.86 t )$$

U geogebri možemo jednostavno napisati (−4.67+2.58 t,2.18-0.86 t) i nacrtat će nam pravac ili reći da nacrta krivulju

Curve(-4.67+2.58 t,2.18-0.86 t,t,-5,5)

gdje smo ograničili dio pravca na $-5\leq t\leq 5$.

Opći je format Curve(x(t),y(t),t,a,b) gdje je $t$ ime parametra, $\vec{r}(t) = (x(t),y(t))$ funkcionalna zavisnost radijus vektora na krivulji od parametra, te su $a$ i $b$ donja i gornja granica intervala parametara.

U našem slučaju, geogebra je nacrtala slijedeću sliku (savjetujemo, probajte sami!).

Općenito, parametrizirana krivulja

$$x = x(t), \,\,\,\, y = y(t), \,\,\,\, t \in (a,b)$$

Mi smo dakle malu dužinu na realnom brojevnom pravcu, dakle interval $(a,b)$ pretvorili u komadić krivulje. Ovdje su granice $a$ i $b$ mogle biti konačne, ali mogli smo uzeti i da je krivulja beskonačna u jednom ili drugom smjeru (kao što je pravac), ili beskonačna u oba smjera, dakle s parametrima u intervalu $(-\infty,\infty)$. U geogebri naravno moramo uzeti konačne vrijednosti za crtanje, ali ako uzmemo dovoljno veliki interval onda će granica biti van ekrana pa će izgledati kao da je granica na granici ekrana.

U našem slučaju je to parametarska jednadžba pravca

$$x = x_0 + t a_x$$

$$y = y_0 + t a_y$$

ili, u vektorskom zapisu,

$$\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{a}$$

gdje je $\vec{r} = (x,y)$ radijusvektor općenite točke na pravcu (komponente radijusvektora su ujedno koordinate iste točke), $\vec{r}_0$ je radijusvektor izabrane točke na pravcu (u gornjem primjeru $A$) koju smatramo početno i $\vec{a} = (a_x,a_y)$ je neki vektor uzduž pravca (u gornjem primjeru je to bio vektor $\vec{A B}$). Realni broj $t$ je parametar. Kako mijenjamo parametar, gibamo se uzduž pravca.

Ako je parametarski zapis pravca zadan, možemo izraziti $t$ iz jedne jednadžbe i izraz staviti u drugu. Na taj način smo isključili nepoznanicu $t$ i dobili jednadžbu između $x$ i $y$. Evo te procedure za gornje jednadžbe. Iz prve i druge jednad\be izrazimo $t$ na dva načina i usporedimo,

$$t = \frac{x - x_0}{a_x} = \frac{y - y_0}{a_y}$$

što daje jednadžbu između $x$ i $y$. Sve ostalo su brojevi,

$$y - y_0 = \frac{a_y}{a_x}(x-x_0)$$

$$y - 2.18 = \frac{0.86}{-2.58}(x+4.67)$$

Možemo i obratno, krenuti od recimo eksplicitne jednadžbe pravca (mogli smo implicitne),

$$y = 3 x + 1$$

i odabrati dvije točke na tom pravcu. Recimo da odaberemo

$$P(0,1), Q(1,4)$$

Točku $P$ sada uzmemo za početnu i translatiramo za $t$ puta vektor $\vec{P Q}$

$$\vec{P Q} = (1,3)$$

i tako dobijemo parametrizaciju u vektorskoj notaciji,

$$\vec{r}(t) = (x,y) = P+t\vec{P Q} = (0,1)+t(1,3) = (t,1+3t)$$

ili, svaka komponenta posebno, kao

$$\array{ x & = & t\\ y & = & 3 t + 1 }$$

category: zadarmat3, zadarmat4