Zoran Skoda primjeri s Bayesovom formulom

Primjer. Matija odlazi u dućan svaki dan i kupuje mlijeko i kruh. Odlučuje svaki dan nezavisno koju vrstu će kupiti. Dvije vrste mlijeka: dukat i vindija. Dvije vrste kruha: kukuruzni i raženi. Ako kupuje kukuruzni kruh onda mu obično bolje uz njega paše vindijino mlijeko pa u tom slučaju u 70% kupuje vindijino mlijeko. Ako kupuje raženi kruh onda mu bolje paše dukatovo mlijeko, i onda njega kupuje u 70% slučajeva. U pola slučajeva je kukuruzni kruh, a u pola slučajeva je raženi kruh.

a) Ako znamo da je danas Matija kupio dukatovo mlijeko, kolika je vjerojatnost da je da je danas kupio raženi kruh ?

D i V su suprotni dogadjaji

K, R P(K) = 0.5, P(R) = 0.5

P(V|K) = 0.7, P(D|K) = 0.3

P(D|R) = 0.7, P(V|R) = 0.3

a) $P(R|D) = P(R\cap D)/P(D) = 0.35/0.50 = 0.7 = 70\%$

$P(R\cap D) = P(D|R)P(R) = 0.7 \times 0.5 = 0.35$

$$P(D) = P(D|R)P(R) + P(D|K)P(K) = 0.35 + 0.3\times 0.5 = 0.50$$

b) Kolika je vjerojatnost da je Matija dva dana za redom kupio raženi kruh, ako znamo da je u ta dva dana kupio različite vrste mlijeka ?

složeni događaj je 1(D i R)2(V i R) + 1(V i R)2(D i R)

uvjet je 1 D 2 V ili 1 V 2 D dvije mogućnosti, vjerojatnosti ćemo zbrojiti

najprije 1(D i R)2(V i R) ako 1 D 2 V

P(R|D) P(R|V)

zatim 1(V i R)2(D i R) ako 1 V 2 D

P(R|V) P(R|D)

Ukupno P(1R2R ako 1V2D ili 1D2V) je jednako

$$\array{ P(R|D)P(R|V)+P(R|V)P(R|D)&=& 2 P(R|D)P(R|V) \\ &=& 2 \times 0.7 \times 0.3 = 0.42 }$$

$$\array{ P(R|V) &=& P(R\cap V)/P(V)\\ &=& \frac{P(V|R)P(R)}{P(V|R)P(R) + P(V|K)P(K)}\\ &=& \frac{0.3\cdot 0.5}{0.3\cdot 0.5 + 0.7\cdot 0.5}\\ &=& 0.15/0.50 = 0.30 }$$

c) Kolika je vjerojatnost da svih 5 radnih dana u jednom tjednu kupuje dukatovo mlijeko (nikakvi uvjeti)

Za jedan dan,

$$\array{ P(D) &=& P(D|K)\cdot P(K) + P(D|R)\cdot P(R)\\ &=& 0.3 \times 0.5 + 0.7 \times 0.5\\ &=& 0.5 }$$

Za pet dana, $P(D)\times P(D)\times P(D)\times P(D)\times P(D) = 0.03125$ ili 3.125%

d) koliko bi bile brojke u c) da su početne brojke P(V|K) = 70% i P(D|R) = 60%

Dakle P(K) = 0.5, P(R) = 0.5

P(V|K) = 0.7, P(D|K) = 0.3

P(D|R) = 0.6, P(V|R) = 0.4

$$\array{P(D) &=& P(D | K) P(K) + P(D | R) P(R)\\ &=& 0.3 \times 0.5 + 0.6 \times 0.5 = 0.45}$$

a za pet dana ?

$0.45\times 0.45\times 0.45\times 0.45\times 0.45 = 0.01845 = 1.845$%

Primjer. Na nekom OPGu ima 120 svinja i 25 krava od čega je 8 svinja i 3 krava trenutno bolesno. a) Ako nasumce izaberemo jednu životinju i ta je životinja bolesna, kolika je vjerojatnost da je to krava ?

$$\array{ P(B|S) = 8/120 & P(K) = 25/145\\ P(B|K) = 3/25 & P(S) = 120/145 }$$

P(K|B) = P(K i B)/P(B)

$$\array{ =& \frac{P(B|K) P(K)}{P(B|K)P(K)+P(B|S)P(S)}\\ =& \frac{\frac{3}{25} \cdot \frac{25}{145}}{\frac{3}{25} \cdot \frac{25}{145} + \frac{8}{120}\cdot\frac{120}{145}}\\ =& \frac{3}{11} }$$

Kako su sve životinje jednako vjerojatne, to smo mogli i ovako:

P(K|B) = n(K i B)/n(B) = 3/(3+8) = 3/11 = 27.27%

b) Ako nasumce biramo navečer kad se slabo vidi, a kravu se dva put lakše uoči nego svinju kolika je vjerojatnost da je uočena životinja krava ?

krava uočena

$P(K|U) = P(K\cap U)/P(U)$

$P(S|U) = P(S\cap U)/P(U)$

$P(U|K) = 2 P(U|S) = 2 p$

Bayes

$$\array{P(K|U) &=& \frac{P(U|K)P(K)}{P(U|K)P(K)+P(U|S)P(S)}\\ &=& \frac{2 p\cdot 25/145}{2 p\cdot 25/145 + p\cdot 120/145}\\ &=& \frac{50 p}{170 p} = \frac{5}{17} }$$

$P(S|U) = 12/17$

krave uočene u 5/17 slučajeva umjesto prijašnjih (kad čimbenik uočavanja nije bio prisutan) 25/145 = 5/29

sve oznake se sad odnose na uočene (ne pišemo više U):

$P(K|B) = P(K\cap B)/P(B)$

$$\array{ =&\frac{P(B|K) P(K)}{P(B|K)P(K)+P(B|S)P(S)}\\ =&\frac{3/25\times 5/17}{3/25\times 5/17 + 8/120\times 12/17}\\ =&\frac{\frac{15}{25\times 17}}{\frac{15}{25\times 17}+\frac{8}{170}}\\ =& 6/14 = 3/7 = 0.42857 = 42.857\% }$$