Zoran Skoda principi aksiomatike

Aksiomatska teorija je dana nekim skupom tvrdnji u nekom logičkom sustavu (te tvrdnje zovemo aksiomima). Mi u principu razmatramo tvrdnje u računu predikata s jednakošću, a koje govore o nekim istaknutim predikatima, npr. $P(x)$ “x je skup” (izražavajući manifestaciju pojma skupa), $R(a,b)$, “(točka) a leži na (pravcu) b” (izražavajući ispunjenje relacije incidencije među točkom i pravcem) i slično.

Aksiomatski sustavi opisuju neke pojmove koji se ne definiraju, koje nazivamo primitivnim pojmovima, a formule u terminima primitivnih pojmova definiraju dodatne pojmove. Za neke od tih pojmova izriču se neke tvrdnje čija istinitost se zahtijeva (postulira). Te početne tvrdnje zovemo aksiomi ili postulati. (Za opis što su to tvrdnje bi trebali koristiti formalizirane jezike no u taj nivo strogosti ne ulazimo) Iz aksioma logičkim zaključivanjem izvodimo nove tvrdnje. Svaka takva tvrdnja zove se teorem. Slijed logičkog zaključivanja kojim se od aksioma i od već poznatih teorema dobije novi teorem zove se dokaz teorema.

U praksi matematičkog izlaganja, međutim, teoremom ne nazivamo baš svaku izvedenu tvrdnju, makar ona to jest, nego samo tvrdnje koje smatramo važnima. Pomoćne “teoreme” u praksi radije zovemo leme (jednina: lema), a lagane posljedice teorema zovemo korolari, i konačno manje važne samostojeće “teoreme” radije nazivamo propozicijama.

Na aksiomateks sustave primijenjujemo tri prirodna zathjeva/principa: neproturječnosti, nezavisnosti i potpunosti.

Po pravilima klasične logike iz lažne tvrdnje možemo izvesti bilo koju tvrdnju. Lažna tvrdnja je ona koja je negacija istinite tvrdnje. Dakle ako dokažemo istovremeno neku tvrdnju i njenu negaciju onda možemo dobiti bilo koju drugu tvrdnju, a to nije smisleno. Aksiomatski sustav u kojem ne možemo dokazati njenu tvrdnju i njenu negaciju zove se neproturječiv (nekontradiktoran). To je prirodan zahtjev smislenosti za aksiomatski sustav. Par koji se sastoji od tvrdnje izvedenu u aksiomatskom sustavu i također izvedene negacije te tvrdnje zovemo kontradikcija ili proturječnost aksiomatskog sustava.

Bilo bi lijepo kad bi za neki sustav mogli pokazati da je neproturječiv. To se može npr. tako da pokažemo neki model u kojem svaki primitivni pojam ima točno određeno značenje (ili interpretaciju) i gdje se može provjeriti da tvrdnje u toj interpretaciji stvarno vrijede. Ako je model neki konačan skup objekata s njihovim jasno opisivim oznakama, onda se svaka tvrdnja apstraktnog sustava može interpretirati preko objekata tog modela (dakle primitivni pojmovi mogu se opisati preko takvog modela egzaktno), jer za konačan skup možemo utvrditi da li ta tvrdnja (koja je u terminima odnosa unutar skupa) vrijedi ili ne. No, ako nema konačnog modela, tada sam model vjerovatno nije konstruiran bez nekih apstraktnih pretpostavki pa nije jasno niti da li on zapravo postoji ili ima ta svojstva, osim ako za njega samog nismo koristili također neki akiomatski sustav u kojem smo to dokazali. Tako će konzistencija sustava biti dokaziva samo relativno u odnosu na drugi aksiomatski sustav u kojem postoji dani model. Većina netrivijalnih aksiomatika, kao što je Peanova aksiomatika skupa prirodnih brojeva nema konačan dokaz konzistentnosti, bez da se koristi relativni dokaz u odnosu na neki drugi netrivijalni aksiomatski sustav kojemu jednostavno vjerujemo.

Korisno je da je skup aksioma skup nezavisnih aksioma, tj. da se ni jedan od aksioma ne može izvesti iz drugih aksioma. No, pedagoški je nekad bolje uzeti neki malo veći sustav koji ima neke zavisnosti, jer su onda neki dokazi lakši. Naravno, kad ima više aksioma, veća je šansa da je taj sustav proturječiv, jer smo postavili više zahtjeva. Zato matematičari traže što jednostavnije aksiome i što manji njihov broj, po mogućnosti nezavisan sustav. Ako isključimo neki aksiom, recimo aksiom $P$ iz liste i za ostatak aksioma možemo naći dva modela (u istom sustavu u kojem ih definiramo), $M$ i $N$ takvih da u $M$ interpretacija aksioma $P$ vrijedi, a u $N$ ne vrijedi, tada je aksiom $P$ nezavisan (opet, to smo tada pokazali samo relativno u odnosno na sustav u kojem smo definirali modele $M$ i $N$).

Aksiomatski sustav je potpun ako svaka tvrdnja koja je izrečena u terminima primitivnih pojmova i jezika logike je ili dokaziva ili je dokaziva njena negacija. Mnogi važni aksiomatski sustavi nisu potpuni.

category: zadarmat1, zadarmat2