Zoran Skoda
problemi algebarske topologije

Algebarska topologija je grana matematike u kojoj definiramo i koristimo funktore iz neke kategorije topoloških prostora u neku kategoriju algebarskih objekata da bi rješili probleme postojanja i jedinstvenosti preslikavanja ili prostora koji su u izvjesnom odnosu s poznatim prostorima. Najpoznatiji takvi funktori su grupe homologije, grupe kohomologije, homotopske grupe i funktori K-teorije; većina tih funktora je homotopski invarijantna tj. homotopski ekvivalentni topološki prostori daju izomorfne algebarske strukture.

Četiri su problema ili osnovne zadaće algebarske topologije za preslikavanja: problemi (egzistencije, jedinstvenosti i efektivnog nalaženja) proširenja, podizanja i prereza preslikavanja i problem retrakcije. Ovi problemi imaju smisla u bilo kojoj kategoriji (zamijenite preslikavanja s morfizmima u toj kategoriji, a prostore s objektima). Ukoliko promatramo jedan od problema egzistencije u nekoj topološkoj kategoriji prikazanog u vidu komutativnog dijagrama i ukoliko taj problem ima pozitivno rješenje egzistencije, tada nakon primjene funktora u neku algebarsku kategoriju dobijemo dijagram s pozitivnim rješenjem egzistencije. Dakle ako pokažemo nepostojanje rješenja u algebarskoj kategoriji, tada očito i izvorni problem egzistencije ima negativno rješenje. S druge strance, funktor treba imati posebna svojstva barem za postojeći dijagram da bismo mogli nešto zaključiti u pozitivnom smislu egzistencije ili jedinstvenosti. Dakle, u tom slučaju potrebna je pažljivija analiza.

Problem proširenja preslikavanja. (engl. extension problem) Neka je i:AXi:A\to X preslikavanje i f:AYf:A\to Y. Želimo proširiti preslikavanje ff na XX, tj. naći preslikavanje f˜:XY\tilde{f}:X\to Y takvo da je if˜=fi\circ\tilde{f}=f. Primijeti da ako je i:AXi:A\hookrightarrow X ulaganje podobjekta (potprostora), tada je if˜i\circ\tilde{f} restrikcija f˜|A\tilde{f}|A, dakle uvjet je f˜| A=f\tilde{f}|_A = f.

Problem retrakcije. (engl. retraction problem) Neka je f:AYf:A\to Y preslikavanje. Nađi preslikavanje r:YAr:Y\to A koje je retrakcija, tj. rf=id Ar\circ f = id_A.

Problem retrakcije je specijalni slučaj problema proširenja preslikavanja, kad je A=XA=X i i=id Ai=id_A. Vrijedi i obrat: proizvoljni problem proširenja se svodi na problem retrakcije.

Propozicija. (Svođenje proširenja na retrakciju.) Ukoliko kategorija prostora u kojoj radimo ima dobro definiran istisak (pushout) tada je opći problem proširenja (dani ii i ff kao gore) ekvivalentan problemu retrakcije za preslikavanje i *(f):YY AXi_*(f) : Y\to Y\coprod_A X.

Problem podizanja preslikavanja. (engl. lifting problem) Neka su p:EBp:E\to B i g:ZBg:Z\to B preslikavanja. Tada je podizanje g˜:ZE\tilde{g}:Z\to E preslikavanja gg preslikavanje za koje vrijedi pg˜=gp\circ\tilde{g}=g.

Problem prereza. (engl. section problem) Za dano preslikavanje p:EBp:E\to B nađi prerez (sekciju) s:BEs: B\to E, tj. preslikavanje ss takvo da je ps=id Bp\circ s = id_B.

Problem presjeka je specijalni slučaj problema podizanja preslikavanja kad je g=id E:EEg = id_E : E\to E. Tada je g˜=s\tilde{g} = s.

Propozicija. (Svođenje podizanja na prerez.) Ukoliko kategorija prostora u kojoj radimo ima dobro definirano povlačenje (pullback) tada je opći problem podizanja (dani pp i gg kao gore) ekvivalentan problemu prereza za preslikavanje g *(p)=Z× Bp:Z× BEZg^*(p)=Z\times_B p : Z\times_B E\to Z.

Last revised on June 15, 2018 at 09:51:15. See the history of this page for a list of all contributions to it.