Zoran Skoda
projekcije analiticki

U nekim konstrukcijama korisno je pomoću vektora računati projekcije na razne smjerove. Neka su v\vec{v} i w\vec{w} vektori.

Ako je vektor duljine dd u smjeru vektora w\vec{w} to znači da moramo naći vektor duljine dd koji je proporcionalan vektoru w\vec{w}. Koja je konstanta proporcionalnosti ? Pa, vektor w\vec{w} ima duljinu w\|\vec{w}\| pa je omjer duljina ta konstanta. Dakle, taj vektor je dw/wd \vec{w}/\|\vec{w}\|.

Koja je projekcija vektora v\vec{v} na smjer vektora w\vec{w} ? Ako znamo duljinu te projekcije, a to je plus minus duljina od v\vec{v} (hipotenuza pravokutnog trokuta kojem su dvije stranice v\vec{v} i projekcija) puta kosinus kuta, tj. vcos(v,w)\|\vec{v}\| cos(\vec{v},\vec{w}). Skalarni umnožak vw=vwcos(v,w)\vec{v}\cdot\vec{w} = \|\vec{v}\| \|\vec{w}\| cos(\vec{v},\vec{w}) pomaže da se nađe plus minus duljina projekcije ±d=vcos(v,w)=vw/w\pm d = \|\vec{v}\| cos(\vec{v},\vec{w}) = \vec{v}\cdot\vec{w}/\|\vec{w}\|. Proporcionalnost je

projekcija:w=duljinaprojekcije:duljinaodw=|d|:w.\vec{projekcija}: \vec{w} = duljina\,\,\,projekcije: duljina\,\,\,\od \vec{w} = |d|:\|\vec{w}\|.

Dakle, projekcija kao vektor je

projekcija=vww 2w.\vec{projekcija} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{w}\|^2}\vec{w}.

Na desnoj strani ove jednakosti je i pravilni predznak.

Primjer u 2d: v=(2,3)\vec{v} = (2,3), w=(3,4)\vec{w} = (3,4). Tada je duljina w=3 2+4 2=5\|\vec{w}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{5} i duljina projekcije (2,3)(3,5)/5=(23+35)/5=21/5(2,3)\cdot(3,5)/\sqrt{5} = (2\cdot 3 + 3\cdot 5)/\sqrt{5} = 21/\sqrt{5}. Projekcija v\vec{v} na w\vec{w} je vektor 21/5(3,4)=(63/5,84/5)21/5(3,4) = (63/5,84/5).

Primjer: Nađi udaljenost točke P(2,4)P(2,4) od pravca 2x+3y+2=02 x + 3 y + 2 = 0. Udaljenost je duljina dijela okomice od PP do nožišta na taj pravac. Smjer okomice je dan koeficijentima implicitne jednadžbe pravce tj. n=(2,3)\vec{n} = (2,3). Nađimo neku točku na pravcu, npr. za y=0y = 0 dobijemo x=1x = -1, dakle T(1,0)T(-1,0). Vektor PT=(3,4)\vec{P T} = (-3,-4) želimo projicirati na smjer vektora (2,3)(2,3). Duljina te projekcije je apsolutna vrijednost od

PTnn=(3,4)(2,3)2 2+3 2=1813, \frac{\vec{P T}\cdot\vec{n}}{\|\vec{n}\|} = \frac{(-3,-4)\cdot(2,3)}{\sqrt{2^2+3^2}} = -\frac{18}{\sqrt{13}},

dakle udaljenost točke i pravca je d=18/13d = 18/\sqrt{13}. Pošto nas zanima samo udaljenost, a onda je duljina najkraće spojnice, odnosno norma vektora do ravnine, mogli smo umjesto PT\vec{P T} projicirati suprotan vektor TP\vec{T P}.

Alternativno, d=|n(r Pr 0)|nd = \frac{| \vec{n}\cdot (\vec{r}_P-\vec{r}_0)|}{\|\vec{n}\|} gdje je r P=(2,4)\vec{r}_P=(2,4), a r 0\vec{r}_0 je neki vektor na zadanoj ravnini (dakle r Pr 0\vec{r}_P-\vec{r}_0 spaja PP i neku točku (x 0,y 0)(x_0,y_0) na pravcu), tada je n(r Pr 0)=2+u x(x Px 0)+u y(x Px 0)2=2+n xx P+n yy P\vec{n}\cdot(\vec{r}_P-\vec{r}_0) = 2 + u_x(x_P-x_0) + u_y(x_P - x_0) - 2 = 2 + n_x x_P + n_y y_P jer oduzeti izraz n xx 0+n yy 0+2=0n_x x_0 + n_y y_0 + 2 = 0 (uvjet da je r 0=(x 0,y 0)\vec{r}_0= (x_0,y_0) na pravcu je 2x+3y+2=02 x + 3 y +2 = 0, ili apstraktno, Ax 0+By 0+C=0A x_0 + B y_0 + C = 0). Dakle,

d=|n(r Pr 0)|n=|Ax P+By P+C|A 2+B 2=22+43+22 2+3 2=1813 d = \frac{|\vec{n}\cdot(\vec{r}_P-\vec{r}_0)|}{\|\vec{n}\|} = \frac{|\,A x_P + B y_P + C\,|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{2\cdot 2 + 4\cdot 3 + 2}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{18}{\sqrt{13}}

Slično udaljenost točke PP u prostoru s koordinatama (x P,y P,z P)(x_P, y_P, z_P) od ravnine Ax+By+Cz+D=0A x + B y + C z + D = 0 je

d=|n(r Pr 0)|n=|Ax P+By P+Cz P+D|A 2+B 2+C 2 d = \frac{|\vec{n}\cdot(\vec{r}_P-\vec{r}_0)|}{\|\vec{n}\|} = \frac{|\,A x_P + B y_P + C z_P + D\,|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Primjer: Nađi udaljenost točke P(1,1,1)P(1,1,1) i ravnine 3x+z+2=03 x + z + 2 = 0. Tu je vektor okomice na ravninu n=(3,0,1)\vec{n} = (3,0,1). Ako je na ravnini x=0x = 0 i y=0y = 0 tada je z=2z = -2 (odrezak na osi zz). Dakle T(0,0,2)T(0,0,-2) leži na ravnini i TP=(1,1,3)\vec{T P} = (1,1,3). Dakle, duljina projekcije vektora TP\vec{T P} na n\vec{n} je (1,1,3)(3,0,1)/3 2+0 2+1 2=6/10=610/10=310/5(1,1,3)\cdot(3,0,1)/\sqrt{3^2+0^2+1^2} = 6/\sqrt{10} = 6\sqrt{10}/10 = 3\sqrt{10}/5, ujedno i udaljenost od PP do zadane ravnine.

Alternativno smo mogli samo uvrstiti u gornju formulu, tj. d=31+01+11+23 2+0 2+1 2=610=3105d = \frac{3\cdot 1+0\cdot 1+ 1\cdot 1 +2}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{5}.

Zadatak s testa: Nađi kut θ\theta (ili kosinus ili sinus kuta, dovoljno) između ravnine 3x+2y+5z8=03 x + 2 y + 5 z - 8 = 0 i pravca x=3tx = 3 t, y=2t+1y = 2 t + 1, z=t1z = - t - 1.

Pravac je zadan u obliku sustava triju parametarskih jednadžbi koje se mogu gledati kao jedna vektorska parametarska jednadžba r=(0,1,1)+(3,2,1)t\vec{r} = (0,1,-1) + (3,2,-1) t, dakle vektor a=(3,2,1)\vec{a} =(3,2,-1) je uzduž pravca. Vektor okomice (normale) na ravninu je n=(3,2,5)\vec{n} = (3,2,5). Kut između okomice i pravca komplementaran je kutu između ravnine i pravca, dakle kosinus između okomice i pravca, cos(a,n)\cos\angle(\vec{a},\vec{n}), je jednak sinusu sinθ\sin\theta traženog kuta θ\theta između ravnine i pravca. A kosinus okomice i pravca je kosinus kuta između dva vektora a,n\vec{a}, \vec{n}, pa se dobije iz skalarnog umnoška an=a xn x+a yn y+a zn z=ancos(a,n)\vec{a}\cdot\vec{n} = a_x n_x + a_y n_y + a_z n_z = \|\vec{a}\|\|\vec{n}\|\cos\angle(\vec{a},\vec{n}). Dakle sinus traženog kuta je skalarni umnožak (3,2,5)(3,2,1)=8(3,2,5)\cdot(3,2,-1) = 8 podijeljen s duljinama vektora a=(3,2,1)\vec{a} = (3,2,-1) (to je a=9+4+1=14\|\vec{a}\| = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}) i vektora n=(3,2,5)\vec{n}=(3,2,5) (to je 9+4+25=38\sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}), dakle 8/1438=4/719=4/1338/\sqrt{14\cdot 38} = 4/\sqrt{7\cdot 19} = 4/\sqrt{133}. Inverzni sinus (arkus sinus) od 4/1334/\sqrt{133} nam tada daje kut θ\theta.

category: zadarmat2, zadarmat4

Last revised on June 14, 2017 at 10:02:28. See the history of this page for a list of all contributions to it.