Zoran Skoda projekcije analiticki

U nekim konstrukcijama korisno je pomoću vektora računati projekcije na razne smjerove. Neka su $\vec{v}$ i $\vec{w}$ vektori.

Ako je vektor duljine $d$ u smjeru vektora $\vec{w}$ to znači da moramo naći vektor duljine $d$ koji je proporcionalan vektoru $\vec{w}$. Koja je konstanta proporcionalnosti ? Pa, vektor $\vec{w}$ ima duljinu $\|\vec{w}\|$ pa je omjer duljina ta konstanta. Dakle, taj vektor je $d \vec{w}/\|\vec{w}\|$.

Koja je projekcija vektora $\vec{v}$ na smjer vektora $\vec{w}$ ? Ako znamo duljinu te projekcije, a to je plus minus duljina od $\vec{v}$ (hipotenuza pravokutnog trokuta kojem su dvije stranice $\vec{v}$ i projekcija) puta kosinus kuta, tj. $\|\vec{v}\| cos(\vec{v},\vec{w})$. Skalarni umnožak $\vec{v}\cdot\vec{w} = \|\vec{v}\| \|\vec{w}\| cos(\vec{v},\vec{w})$ pomaže da se nađe plus minus duljina projekcije $\pm d = \|\vec{v}\| cos(\vec{v},\vec{w}) = \vec{v}\cdot\vec{w}/\|\vec{w}\|$. Proporcionalnost je

$$\vec{projekcija}: \vec{w} = duljina\,\,\,projekcije: duljina\,\,\,\od \vec{w} = |d|:\|\vec{w}\|.$$

Dakle, projekcija kao vektor je

$$\vec{projekcija} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{w}\|^2}\vec{w}.$$

Na desnoj strani ove jednakosti je i pravilni predznak.

Primjer u 2d: $\vec{v} = (2,3)$, $\vec{w} = (3,4)$. Tada je duljina $\|\vec{w}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{5}$ i duljina projekcije $(2,3)\cdot(3,5)/\sqrt{5} = (2\cdot 3 + 3\cdot 5)/\sqrt{5} = 21/\sqrt{5}$. Projekcija $\vec{v}$ na $\vec{w}$ je vektor $21/5(3,4) = (63/5,84/5)$.

Primjer: Nađi udaljenost točke $P(2,4)$ od pravca $2 x + 3 y + 2 = 0$. Udaljenost je duljina dijela okomice od $P$ do nožišta na taj pravac. Smjer okomice je dan koeficijentima implicitne jednadžbe pravce tj. $\vec{n} = (2,3)$. Nađimo neku točku na pravcu, npr. za $y = 0$ dobijemo $x = -1$, dakle $T(-1,0)$. Vektor $\vec{P T} = (-3,-4)$ želimo projicirati na smjer vektora $(2,3)$. Duljina te projekcije je apsolutna vrijednost od

$$\frac{\vec{P T}\cdot\vec{n}}{\|\vec{n}\|} = \frac{(-3,-4)\cdot(2,3)}{\sqrt{2^2+3^2}} = -\frac{18}{\sqrt{13}},$$

dakle udaljenost točke i pravca je $d = 18/\sqrt{13}$. Pošto nas zanima samo udaljenost, a onda je duljina najkraće spojnice, odnosno norma vektora do ravnine, mogli smo umjesto $\vec{P T}$ projicirati suprotan vektor $\vec{T P}$.

Alternativno, $d = \frac{| \vec{n}\cdot (\vec{r}_P-\vec{r}_0)|}{\|\vec{n}\|}$ gdje je $\vec{r}_P=(2,4)$, a $\vec{r}_0$ je neki vektor na zadanoj ravnini (dakle $\vec{r}_P-\vec{r}_0$ spaja $P$ i neku točku $(x_0,y_0)$ na pravcu), tada je $\vec{n}\cdot(\vec{r}_P-\vec{r}_0) = 2 + u_x(x_P-x_0) + u_y(x_P - x_0) - 2 = 2 + n_x x_P + n_y y_P$ jer oduzeti izraz $n_x x_0 + n_y y_0 + 2 = 0$ (uvjet da je $\vec{r}_0= (x_0,y_0)$ na pravcu je $2 x + 3 y +2 = 0$, ili apstraktno, $A x_0 + B y_0 + C = 0$). Dakle,

$$d = \frac{|\vec{n}\cdot(\vec{r}_P-\vec{r}_0)|}{\|\vec{n}\|} = \frac{|\,A x_P + B y_P + C\,|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{2\cdot 2 + 4\cdot 3 + 2}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{18}{\sqrt{13}}$$

Slično udaljenost točke $P$ u prostoru s koordinatama $(x_P, y_P, z_P)$ od ravnine $A x + B y + C z + D = 0$ je

$$d = \frac{|\vec{n}\cdot(\vec{r}_P-\vec{r}_0)|}{\|\vec{n}\|} = \frac{|\,A x_P + B y_P + C z_P + D\,|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Primjer: Nađi udaljenost točke $P(1,1,1)$ i ravnine $3 x + z + 2 = 0$. Tu je vektor okomice na ravninu $\vec{n} = (3,0,1)$. Ako je na ravnini $x = 0$ i $y = 0$ tada je $z = -2$ (odrezak na osi $z$). Dakle $T(0,0,-2)$ leži na ravnini i $\vec{T P} = (1,1,3)$. Dakle, duljina projekcije vektora $\vec{T P}$ na $\vec{n}$ je $(1,1,3)\cdot(3,0,1)/\sqrt{3^2+0^2+1^2} = 6/\sqrt{10} = 6\sqrt{10}/10 = 3\sqrt{10}/5$, ujedno i udaljenost od $P$ do zadane ravnine.

Alternativno smo mogli samo uvrstiti u gornju formulu, tj. $d = \frac{3\cdot 1+0\cdot 1+ 1\cdot 1 +2}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{5}$.

Zadatak s testa: Nađi kut $\theta$ (ili kosinus ili sinus kuta, dovoljno) između ravnine $3 x + 2 y + 5 z - 8 = 0$ i pravca $x = 3 t$, $y = 2 t + 1$, $z = - t - 1$.

Pravac je zadan u obliku sustava triju parametarskih jednadžbi koje se mogu gledati kao jedna vektorska parametarska jednadžba $\vec{r} = (0,1,-1) + (3,2,-1) t$, dakle vektor $\vec{a} =(3,2,-1)$ je uzduž pravca. Vektor okomice (normale) na ravninu je $\vec{n} = (3,2,5)$. Kut između okomice i pravca komplementaran je kutu između ravnine i pravca, dakle kosinus između okomice i pravca, $\cos\angle(\vec{a},\vec{n})$, je jednak sinusu $\sin\theta$ traženog kuta $\theta$ između ravnine i pravca. A kosinus okomice i pravca je kosinus kuta između dva vektora $\vec{a}, \vec{n}$, pa se dobije iz skalarnog umnoška $\vec{a}\cdot\vec{n} = a_x n_x + a_y n_y + a_z n_z = \|\vec{a}\|\|\vec{n}\|\cos\angle(\vec{a},\vec{n})$. Dakle sinus traženog kuta je skalarni umnožak $(3,2,5)\cdot(3,2,-1) = 8$ podijeljen s duljinama vektora $\vec{a} = (3,2,-1)$ (to je $\|\vec{a}\| = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}$) i vektora $\vec{n}=(3,2,5)$ (to je $\sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$), dakle $8/\sqrt{14\cdot 38} = 4/\sqrt{7\cdot 19} = 4/\sqrt{133}$. Inverzni sinus (arkus sinus) od $4/\sqrt{133}$ nam tada daje kut $\theta$.

category: zadarmat2, zadarmat4