Redirected from "projekcije analitički".
U nekim konstrukcijama korisno je pomoću vektora računati projekcije na razne smjerove. Neka su i vektori.
Ako je vektor duljine u smjeru vektora to znači da moramo naći vektor duljine koji je proporcionalan vektoru . Koja je konstanta proporcionalnosti ? Pa, vektor ima duljinu pa je omjer duljina ta konstanta. Dakle, taj vektor je .
Koja je projekcija vektora na smjer vektora ? Ako znamo duljinu te projekcije, a to je plus minus duljina od (hipotenuza pravokutnog trokuta kojem su dvije stranice i projekcija) puta kosinus kuta, tj. . Skalarni umnožak pomaže da se nađe plus minus duljina projekcije . Proporcionalnost je
Dakle, projekcija kao vektor je
Na desnoj strani ove jednakosti je i pravilni predznak.
Primjer u 2d: , . Tada je duljina i duljina projekcije . Projekcija na je vektor .
Primjer: Nađi udaljenost točke od pravca . Udaljenost je duljina dijela okomice od do nožišta na taj pravac. Smjer okomice je dan koeficijentima implicitne jednadžbe pravce tj. . Nađimo neku točku na pravcu, npr. za dobijemo , dakle . Vektor želimo projicirati na smjer vektora . Duljina te projekcije je apsolutna vrijednost od
dakle udaljenost točke i pravca je . Pošto nas zanima samo udaljenost, a onda je duljina najkraće spojnice, odnosno norma vektora do ravnine, mogli smo umjesto projicirati suprotan vektor .
Alternativno, gdje je , a je neki vektor na zadanoj ravnini (dakle spaja i neku točku na pravcu), tada je jer oduzeti izraz (uvjet da je na pravcu je , ili apstraktno, ). Dakle,
Slično udaljenost točke u prostoru s koordinatama od ravnine je
Primjer: Nađi udaljenost točke i ravnine . Tu je vektor okomice na ravninu . Ako je na ravnini i tada je (odrezak na osi ). Dakle leži na ravnini i . Dakle, duljina projekcije vektora na je , ujedno i udaljenost od do zadane ravnine.
Alternativno smo mogli samo uvrstiti u gornju formulu, tj. .
Zadatak s testa: Nađi kut (ili kosinus ili sinus kuta, dovoljno) između ravnine i pravca , , .
Pravac je zadan u obliku sustava triju parametarskih jednadžbi koje se mogu gledati kao jedna vektorska parametarska jednadžba , dakle vektor je uzduž pravca. Vektor okomice (normale) na ravninu je . Kut između okomice i pravca komplementaran je kutu između ravnine i pravca, dakle kosinus između okomice i pravca, , je jednak sinusu traženog kuta između ravnine i pravca. A kosinus okomice i pravca je kosinus kuta između dva vektora , pa se dobije iz skalarnog umnoška . Dakle sinus traženog kuta je skalarni umnožak podijeljen s duljinama vektora (to je ) i vektora (to je ), dakle . Inverzni sinus (arkus sinus) od nam tada daje kut .