Zoran Skoda racionalna funkcija

Racionalna funkcija realne varijable je realna funkcija realne varijable koja se u području svoje definicije izračunava kao omjer dviju polinomijalnih funkcija

$$R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \ldots + b_1 x + b_0}$$

s time da područje definicije obuhvaća sve one $x$ za koje $Q(x)\neq 0$. Ponekad se za slučaj kad je $n\lt m$ naglašava da je $R$ prava racionalna funkcija, a za $n\geq m$ kaže da je neprava racionalna funkcija u smislu da se po teoremu o dijeljenju polinoma s ostatkom da napisati kao zbroj polinoma i prave racionalne funkcije. To je analogno razlomcima u kojima je brojnik veći (po apsolutnoj vrijednosti) od razlomka pa se može napisati kao cijeli broj plus razlomak čija je apsolutna vrijednost manja od $1$.

Na satu smo detaljno diskutirali crtanje grafova takvih funkcija.

Racionalne nejednadžbe s jednom nepoznanicom nad $\mathbf{R}$.

Na predavanjima smo detaljnije radili ješavanje racionalnih nejednadžbi, s vodeći ih na sustave linearnih nejednadžbi.
Mi ćemo se ovdje ograničiti na jedan primjer. Nađimo sve realne brojeve $x$ takve da je

$$\frac{x-1}{2 x + 1} \leq 3.$$

Tu nejednadžbu ne smijemo pomnožiti nazivnikom jer ne znamo je li negativan za neki $x$ ili nije (kad je negativan onda se mijenja i smjer nejednakosti, a to se dešava samo za neke $x$). Dakle, oduzmimo $3$ od obje strane nejednakosti jer se nejednakost ne mijenja ako se dodaje ili oduzme isti broj na obje strane. Tada dobivamo

$$\frac{x-1 - 3 (2 x +1)}{2 x+1} \leq 0,$$

dakle

$$\frac{- 5 x - 4}{2 x + 1} \leq 0.$$

Omjer dva broja je manji od $0$ ako su oni različitog predznaka, a nula ako je brojnik nula, a nazivnik definiran. Dakle $x$ može biti takav da ili (slučaj 1) ili (slučaj 2) gdje je

(slučaj 1): $x$ zadovoljava istovremeno $-5 x - 4 \leq 0$ i $2 x + 1\gt 0$

(slučaj 2): $x$ zadovoljava istovremeno $-5 x - 4 \geq 0$ i $2 x + 1\lt 0$.

Dakle, sve se svodi na rješavanje sustava linearnih nejednadžbi u jednoj varijabli, što znači za svaki slučaj uzeti presjek intervala koji odgovaraju rješenju svake linearne nejednadžbe posebno. Na kraju uzmemo uniju rješenja svih slučaja.

(slučaj 1) kaže da istovremeno $- 5 x \leq 4$, tj. $x \geq - 4/5$, tj. $[-\frac{4}{5},\infty)$ i $2 x \gt -1$, dakle $x\in (-\frac{1}{2},\infty)$. Taj presjek je $(-\frac{1}{2},\infty)$ jer je $-1/2\gt -4/5 = -0.8$.

(slučaj 2) $- 5 x \geq 4$, tj. $x\leq -4/5$ odnosno $x\in(-\infty,-4/5]$ i $x\in(-\infty,-\frac{1}{2})$, pa je presjek $(-infty,-4/5]$ jer je $-4/5\lt -1/2$.

Dakle, konačno rješenje je $x \in (-\infty,-4/5] \cup (-1/2,\infty)$.

Rastav na parcijalne razlomke

Ukoliko je nazivnik $Q$ racionalne funkcije $R = P/Q$ napisan kao umnožak ireducibilnih faktora, moguće s ponavljanjem istih faktora, tada možemo pravu racionalnu funkciju napisati kao zbroj racionalnih funkcija oblika

$$\frac{C(x)}{D(x)^n}$$

gdje je $D(x)$ ireducibilan, $D(x)^n$ dijeli $Q(x)$ (tj. $D(x)$ se pojavljuje u rastavu od $Q(x)$ barem $n$ puta) i $C(x)$ je manjeg stupnja nego $D(x)^n$. Ta suma je jedinstvena ako u rastavu dopuštamo samo različite nazivnike i $n$ je maksimalan za svaki $D(x)$. Tada koeficijente polinoma $C(x)$ možemo odrediti rješavanjem sustava linearnih jednadžbi. Vidi ulomak iz Galićeve knjige s primjerima (taj ulomak je postiran na moodle kolegija). Općenito ma koju racionalnu funkciju možemo napisati kao polinom plus prava racionalna funkcija, koja je pak zbroj parcijalnih razlomaka.

Npr. racionalna funkcija

$$\frac{5 x^2 + x + 1}{(x-1) (x+2)^2 (x^2+1)}$$

ima nazivnik u kojem su ireducibilni faktori nad $\mathbf{R}$ polinomi $(x-1)$, $(x+2)$ i $x^2+1$ (ovaj zadnji je reducibilan nad poljem kompleksnih brojeva).

Dakle, možemo pisati

$$\frac{5 x^2 + x + 1}{(x-1) (x+2)^2 (x^2+1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b x + c}{(x+2)^2} + \frac{d x+ e}{x^2+1}$$

Ako pomnožimo ovu jednadžbu pomnožimo s $(x-1)(x+2)^2(x^2+1)$ tada dobijemo sa svake strane jednadžbe polinom najviše četvrtog stupnja:

$$5 x^2 + x + 1 = a(x+2)^2 (x^2+1) + (b x + c) (x-1)(x^2+1) + (d x + e)(x-1)(x+2)^2$$

Polinom koji je s lijeve strane s određenim koeficijentima (ispada da je drugog reda, jer su potencije uz $x^4$ i $x^3$ nula), a s desne strane, nakon raspisivanja

$$5 x^2 + x + 1 = a(x^4 + 4 x^3 + 5 x^2 + 4 x + 1) + (b x+ c)(x^3-x^2+x-1) + (d x + e)(x^3 - 3 x^2 - 4)$$

Desna strana je, dakle

$$\array{ a x^4 + 4 a x^3 + 5 a x^2 & = 4 a x + a + b x^4 + c x^3 - b x^3 - c x^2 + b x^2 + c x - b x - c + \\ & + d x^4 + e x^3 - 3 d x^3 - 3 e x^2 -4 d x - 4 e }$$

Sad skupimo koeficijente uz svaku potenciju. Koeficijenti uz potencije $x^4, x^3, x^2, x, 1$ s desne strane zavise o varijablama $a,b,c,d,e$, a s lijeve su fiksni.

$$5 x^2 + x + 1 = (a+b+d)x^4 + (4 a+c-b+e-3 d)x^3 + (5 a - c + b - 3 e - 4 d) x^2 + ( 4 a + c - b - 4 d) x + (a - c - 4 e)$$

Dva su polinoma jednaka ako imaju jednake koeficijente. To nam daje sustav od 5 linearnih jednadžbi za 5 nepoznanica $a,b,c,d,e$.

$$\array{ 0 & = & a &+& b & + & & & d & & \\ 0 & = & 4 a & - &b & +& c& - & 3 d& + & e\\ 5 & = & 5 a & + & b& -& c& - & 4 d& - & 3 e\\ 1 & = & 4 a & - & b& +& c& - & 4 d& & \\ 1 & = & a & & & -& c& & & - & 4 e }$$

category: zadarmat3, zadarmat4