Zoran Skoda razlomak

Neke predmete možemo brojiti (vidi kardinalni broj, prebrojavanje), no ne možemo dijeliti na manje dijelove koji bi još uvijek bili međusobno jednaki. Neka pak možemo. Npr. tortu (ili, apstraktnije, krug) možemo podijeliti na $n$ jednakih dijelova gdje je $n$ prirodni broj. Kako govorimo o recimo $5$ krugova, tako možemo govoriti i o dijelu kruga koji nastaje dijeljenjem na recimo $6$ dijelova i kažemo da je to jedna šestina kruga i pišemo $1/6$. Slično možemo podijeliti i $5$ krugova na $6$ jednakih dijelova, npr. tako da svaki od njih podijelimo na $6$ dijelova, pa imamo $5$ takvih šestina kruga i to izrazimo s $\frac{5}{6}$. Kao što je slučaj i s brojenjem, ako imamo $n$ puta više krugova i podijelimo ih na $n$ puta više dijelova, tada će svaki dio bio jednak. Drugim riječima,

$$\frac{a}{b} = \frac{n\cdot a}{n\cdot b}$$

Možemo dijeliti i nulu na više dijelova i uvijek je $\frac{0}{m} = 0$. No, nema smisla pitati kakav je dio ako ima nula dijelova, pa nema smisla dijeliti s nulom, dakle $\frac{m}{0}$ nema smisla.

Ako $m | n$ ($m$ dijeli $n$), npr. $n = m\cdot p$ gdje je $p$ prirodan broj, tada je $\frac{m}{n} = p$. Izraze tipa $\frac{a}{b}$ gdje su $a$ i $b$ cijeli brojevi zovemo razlomcima, pri ćemu je $a$ brojnik, a $b$ nazivnik tog razlomka. Oni dakle proširuju pojam cijelog broja, naime očito $\frac{a}{1} = a$ gdje je $a$ cijeli broj. Kažemo da je $\frac{a}{b}$ nastao skraćivanjem razlomka $\frac{n\cdot a}{n\cdot b}$, odnosno da je $\frac{n\cdot a}{n\cdot b}$ nastao proširivanjem razlomka $\frac{a}{b}$. Njihova vrijednost kao mjere stvari je, prema gornjoj diskusiji, jednaka. Dakle razlomak može zapravo značiti tu vrijednost, a može značiti i sam izraz, koji je jedno od imena koje označava tu vrijednost. Prema kontekstu jasno je da li se misli na izraz i njegovu brojevnu vrijednost. Npr. kad kažemo da je $b$ nazivnik razlomka $\frac{a}{b}$ mislimo na njegovo ime, konkretnu predstavu tog broja, jer ako tu vrijednost napišemo kao $\frac{2 a}{2 b}$ tada se nazivnik primijenio, dakle pojam nazivnika vezan je uz konkretnu predstavu tog broja.

Primijetimo da je $\frac{2}{6} = \frac{5}{15}$, a ta dva broja se ne dobiju jedan od drugog samo jednim proširivanjem ili skraćivanjem, nego treba u dva koraka: npr. lijevu stranu skratimo s $2$ i dobijemo $\frac{1}{3}$, pa onda proširimo s $5$ da dobijemo $\frac{5}{15}$. Euklidovim algoritmom možemo naći zajedničko cijelo brojnika i nazivnika i uvijek skratiti s njime. Na taj način dobijemo dva broja koja su relativno prosta. Takav razlomak ne možemo dalje skraćivati. Dakle svaki razlomak se može, do na predznake brojnika i nazivnika, na jedinstven način zapisati u obliku $\frac{m}{n}$ gdje su $m$ i $n$ relativno prosti. S druge strane, Euklidov algoritam nije tako jednostavan postupak, ako su brojevi veliki. Zato je korisno koristiti

Dva se razlomka mogu prevesti jedan na drugi nizom skraćivanja i proširivanja, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, ako i samo ako $a\cdot d = b\cdot c$.

Zaista, po tom kriteriju je očito da $\frac{a}{b} = \frac{n a}{n b}$ jer $a\cdot n b = n a\cdot b$. Dakle, ako su dva razlomka jednaka u našem smislu, onda su jednaka i u tom novom smislu, barem za samo jedno proširivanje. Za više proširivanja treba vidjeti da je relacija jednakosti dana novim pravilom $a\cdot d = b\cdot c$ relacija ekvivalencije na skupu svih apstraknih izraza oblika $\frac{a}{b}$ gdje su $a,b$ cijeli i $b\neq 0$. Ta definicija je apstraktnija i efektivnija, no manje intuitivna: razlomci (kao brojevi) su razredi ekvivalencije izraza $\frac{a}{b}$ s obzirom na relaciju “jednakosti” danu gornjom tvrdnjom. Ta tvrdnja ima i prednost da je jednako automatska i kad su neki od brojeva $a,b$ negativni, za što je malo kompliciranije ispričati intuiciju dijeljenjem.

Razlomke (kao vrijednosti, tj. razrede ekvivalencije) možemo zbrajati i množiti, pa time postaju jedan brojevni sustav. Skup razlomaka gledanih kao razredi ekvivalencije zovemo racionalni brojevi, a kad im dodamo operacije množenja i zbrajanja, tada oni postaju neka vrsta brojevne strukture (točnije, polje). Kad bismo izlistali osnovna svojstva te strukture onda bismo uvidjeli da su to aksiomi strukture s dvije operacije $+$ i $\cdot$ koju zovemo polje. Dakle time se dobiva polje racionalnih brojeva.

Zbrajanje je na predstavnicima razlomaka dano s

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a\cdot d + b\cdot c}{b\cdot d}$$

i ta definicija ne zavisi od izbora predstavnika. Definiramo razliku dva razlomka $r - s$ kao treći razlomak $q$ takav da je $q+s = r$. Takav uvijek postoji, naime

$$\frac{a}{b} -\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d - b\cdot c}{b\cdot d}$$

što se lako provjeri, naime po gornjim pravilima za zbroj možemo pokazati

$$\frac{c}{d} + \frac{a\cdot d - b\cdot c}{b\cdot d} = \frac{b \cdot c}{b\cdot d} + \frac{a\cdot d - b\cdot c}{b\cdot d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot d} = \frac{a}{b}.$$

Nula $0 = \frac{0}{1}$ je neutralni element za zbrajanje, tj. $0+ \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$. Zbrajanje je komutativno, tj. $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b}$ i asocijativno, tj.

$$\frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}$$

Svaki razlomak $r = \frac{a}{b}$ ima svoj suprotni element $s = -\frac{a}{b}$ za koji vrijedi da $r+s = 0 = s+r$. Skup sa svuda zadanom binarnom algebarskom operacijom (ovdje $+$) koja je asocijativna, komutativna, ima neutralni element i čiji svaki element ima suprotni element zove se komutativna grupa ili Abelova grupa.

Množenje na predstavnicima razlomaka je dano jednostavnijom formulom

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d},$$

dakle brojnik umnoška razlomaka je umnožak brojnika i nazivnik umnoška je umnožak nazivnika. To pravilo vrijedi i ako množimo više od dva razlomka odjednom.

Kažemo da je razlomak $a/b$ pozitivan i pišemo $\frac{a}{b}\gt 0$ ako su $a$ i $b$ oba pozitivni, ili ako su oba negativni, da je razlomak negativan ako je jedan od njih pozitivan, a drugi negativan i da je razlomak $0$ ako je oblika $0/m$ gdje je $m\neq 0$.

Pojam pozitivnosti nam omogućava da uvedemo linearni uređaj $\lt$ na skupu svih racionalnih brojeva $\mathbb{Q}$

$$\frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} akko \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \lt 0,$$

Drugim riječima, provjeravamo je li $\frac{a d - b c}{b\cdot d} \lt 0$, tj. jesu li predznaci od $a\cdot d - b\cdot c$ i od $b \cdot d$ različiti. Posebno je lagan slučaj kad su sva 4 cijela broja $a,b,c,d\gt 0$. Tada je $\frac{a}{b} \lt \frac{c}{d}$ akko $a\cdot d \lt b\cdot c$. Npr. $4/5 \gt 20/23$ jer je $4\cdot 23 = 92 \gt 90 = 5\cdot 20$.

Time $\mathbb{Q}$ postaje uređeno polje, naime polje za kojeg vrijedi da $r \lt s$ povlači $r+p\lt s+p$.

category: zadarmat1, zadarmat4