Zoran Skoda
razlomak

Neke predmete možemo brojiti (vidi kardinalni broj, prebrojavanje), no ne možemo dijeliti na manje dijelove koji bi još uvijek bili međusobno jednaki. Neka pak možemo. Npr. tortu (ili, apstraktnije, krug) možemo podijeliti na nn jednakih dijelova gdje je nn prirodni broj. Kako govorimo o recimo 55 krugova, tako možemo govoriti i o dijelu kruga koji nastaje dijeljenjem na recimo 66 dijelova i kažemo da je to jedna šestina kruga i pišemo 1/61/6. Slično možemo podijeliti i 55 krugova na 66 jednakih dijelova, npr. tako da svaki od njih podijelimo na 66 dijelova, pa imamo 55 takvih šestina kruga i to izrazimo s 56\frac{5}{6}. Kao što je slučaj i s brojenjem, ako imamo nn puta više krugova i podijelimo ih na nn puta više dijelova, tada će svaki dio bio jednak. Drugim riječima,

ab=nanb \frac{a}{b} = \frac{n\cdot a}{n\cdot b}

Možemo dijeliti i nulu na više dijelova i uvijek je 0m=0\frac{0}{m} = 0. No, nema smisla pitati kakav je dio ako ima nula dijelova, pa nema smisla dijeliti s nulom, dakle m0\frac{m}{0} nema smisla.

Ako m|nm | n (mm dijeli nn), npr. n=mpn = m\cdot p gdje je pp prirodan broj, tada je mn=p\frac{m}{n} = p. Izraze tipa ab\frac{a}{b} gdje su aa i bb cijeli brojevi zovemo razlomcima, pri ćemu je aa brojnik, a bb nazivnik tog razlomka. Oni dakle proširuju pojam cijelog broja, naime očito a1=a\frac{a}{1} = a gdje je aa cijeli broj. Kažemo da je ab\frac{a}{b} nastao skraćivanjem razlomka nanb\frac{n\cdot a}{n\cdot b}, odnosno da je nanb\frac{n\cdot a}{n\cdot b} nastao proširivanjem razlomka ab\frac{a}{b}. Njihova vrijednost kao mjere stvari je, prema gornjoj diskusiji, jednaka. Dakle razlomak može zapravo značiti tu vrijednost, a može značiti i sam izraz, koji je jedno od imena koje označava tu vrijednost. Prema kontekstu jasno je da li se misli na izraz i njegovu brojevnu vrijednost. Npr. kad kažemo da je bb nazivnik razlomka ab\frac{a}{b} mislimo na njegovo ime, konkretnu predstavu tog broja, jer ako tu vrijednost napišemo kao 2a2b\frac{2 a}{2 b} tada se nazivnik primijenio, dakle pojam nazivnika vezan je uz konkretnu predstavu tog broja.

Primijetimo da je 26=515\frac{2}{6} = \frac{5}{15}, a ta dva broja se ne dobiju jedan od drugog samo jednim proširivanjem ili skraćivanjem, nego treba u dva koraka: npr. lijevu stranu skratimo s 22 i dobijemo 13\frac{1}{3}, pa onda proširimo s 55 da dobijemo 515\frac{5}{15}. Euklidovim algoritmom možemo naći zajedničko cijelo brojnika i nazivnika i uvijek skratiti s njime. Na taj način dobijemo dva broja koja su relativno prosta. Takav razlomak ne možemo dalje skraćivati. Dakle svaki razlomak se može, do na predznake brojnika i nazivnika, na jedinstven način zapisati u obliku mn\frac{m}{n} gdje su mm i nn relativno prosti. S druge strane, Euklidov algoritam nije tako jednostavan postupak, ako su brojevi veliki. Zato je korisno koristiti

Dva se razlomka mogu prevesti jedan na drugi nizom skraćivanja i proširivanja, ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, ako i samo ako ad=bca\cdot d = b\cdot c.

Zaista, po tom kriteriju je očito da ab=nanb\frac{a}{b} = \frac{n a}{n b} jer anb=naba\cdot n b = n a\cdot b. Dakle, ako su dva razlomka jednaka u našem smislu, onda su jednaka i u tom novom smislu, barem za samo jedno proširivanje. Za više proširivanja treba vidjeti da je relacija jednakosti dana novim pravilom ad=bca\cdot d = b\cdot c relacija ekvivalencije na skupu svih apstraknih izraza oblika ab\frac{a}{b} gdje su a,ba,b cijeli i b0b\neq 0. Ta definicija je apstraktnija i efektivnija, no manje intuitivna: razlomci (kao brojevi) su razredi ekvivalencije izraza ab\frac{a}{b} s obzirom na relaciju “jednakosti” danu gornjom tvrdnjom. Ta tvrdnja ima i prednost da je jednako automatska i kad su neki od brojeva a,ba,b negativni, za što je malo kompliciranije ispričati intuiciju dijeljenjem.

Razlomke (kao vrijednosti, tj. razrede ekvivalencije) možemo zbrajati i množiti, pa time postaju jedan brojevni sustav. Skup razlomaka gledanih kao razredi ekvivalencije zovemo racionalni brojevi, a kad im dodamo operacije množenja i zbrajanja, tada oni postaju neka vrsta brojevne strukture (točnije, polje). Kad bismo izlistali osnovna svojstva te strukture onda bismo uvidjeli da su to aksiomi strukture s dvije operacije ++ i \cdot koju zovemo polje. Dakle time se dobiva polje racionalnih brojeva.

Zbrajanje je na predstavnicima razlomaka dano s

ab+cd=ad+bcbd \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a\cdot d + b\cdot c}{b\cdot d}

i ta definicija ne zavisi od izbora predstavnika. Definiramo razliku dva razlomka rsr - s kao treći razlomak qq takav da je q+s=rq+s = r. Takav uvijek postoji, naime

abcd=adbcbd \frac{a}{b} -\frac{c}{d} = \frac{a\cdot d - b\cdot c}{b\cdot d}

što se lako provjeri, naime po gornjim pravilima za zbroj možemo pokazati

cd+adbcbd=bcbd+adbcbd=adbd=ab. \frac{c}{d} + \frac{a\cdot d - b\cdot c}{b\cdot d} = \frac{b \cdot c}{b\cdot d} + \frac{a\cdot d - b\cdot c}{b\cdot d} = \frac{a\cdot d}{b\cdot d} = \frac{a}{b}.

Nula 0=010 = \frac{0}{1} je neutralni element za zbrajanje, tj. 0+ab=ab0+ \frac{a}{b} = \frac{a}{b}. Zbrajanje je komutativno, tj. ab+cd=cd+ab\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{c}{d}+\frac{a}{b} i asocijativno, tj.

ab+(cd+ef)=(ab+cd)+ef \frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right) = \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{e}{f}

Svaki razlomak r=abr = \frac{a}{b} ima svoj suprotni element s=abs = -\frac{a}{b} za koji vrijedi da r+s=0=s+rr+s = 0 = s+r. Skup sa svuda zadanom binarnom algebarskom operacijom (ovdje ++) koja je asocijativna, komutativna, ima neutralni element i čiji svaki element ima suprotni element zove se komutativna grupa ili Abelova grupa.

Množenje na predstavnicima razlomaka je dano jednostavnijom formulom

abcd=acbd, \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d},

dakle brojnik umnoška razlomaka je umnožak brojnika i nazivnik umnoška je umnožak nazivnika. To pravilo vrijedi i ako množimo više od dva razlomka odjednom.

Kažemo da je razlomak a/ba/b pozitivan i pišemo ab>0\frac{a}{b}\gt 0 ako su aa i bb oba pozitivni, ili ako su oba negativni, da je razlomak negativan ako je jedan od njih pozitivan, a drugi negativan i da je razlomak 00 ako je oblika 0/m0/m gdje je m0m\neq 0.

Pojam pozitivnosti nam omogućava da uvedemo linearni uređaj <\lt na skupu svih racionalnih brojeva \mathbb{Q}

ab<cdakkoabcd<0, \frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} akko \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \lt 0,

Drugim riječima, provjeravamo je li adbcbd<0\frac{a d - b c}{b\cdot d} \lt 0, tj. jesu li predznaci od adbca\cdot d - b\cdot c i od bdb \cdot d različiti. Posebno je lagan slučaj kad su sva 4 cijela broja a,b,c,d>0a,b,c,d\gt 0. Tada je ab<cd\frac{a}{b} \lt \frac{c}{d} akko ad<bca\cdot d \lt b\cdot c. Npr. 4/5>20/234/5 \gt 20/23 jer je 423=92>90=5204\cdot 23 = 92 \gt 90 = 5\cdot 20.

Time \mathbb{Q} postaje uređeno polje, naime polje za kojeg vrijedi da r<sr \lt s povlači r+p<s+pr+p\lt s+p.

category: zadarmat1, zadarmat4

Last revised on July 3, 2017 at 12:19:49. See the history of this page for a list of all contributions to it.