Zoran Skoda razmjeri

Razmjeri i razmjerne veličine

Neki brojevi u stvarnom životu označavaju vrijednost nečega što zavisi od trenutka vremena ili nekog drugog parametra. Npr. temperatura ovisi o mjestu i vremenu kad se mjeri. Takve zavisne vrijednosti nazivamo veličinama.

Ako je omjer dviju veličina koje ovise o parametrima uvijek isti, kažemo da su one proporcionalne. To je često idealizacija koja se koristi u grubom računu. Npr. smatramo da za jedan sat popločavanja pločicama radnik uspije popločiti pola kvadratnog metra u prosjeku. Tada za 5 sati radnik poploči pet puta toliko, dakle $5/2$ metara kvadratnih, odnosno omjer popločene površine i uloženog vremena je uvijek $1/2$. Takve veličine nazivamo razmjernim ili proporcionalnim. Koliko sati je potrebno za 6 metara kvadratnih ? Pa postavimo taj uvjet da je omjer uvijek isti, pa je

$$\frac{6}{broj\,\,sati} = 1/2$$

dakle iz te jednadžbe izlazi da je broj sati $12$.

Nekad to vrijedi ako su svi dodatni parametri jednaki. Npr. 3 radnika će napraviti $3$ puta više od toga.

Nekad promatramo i obrnuto razmjerne veličine, to su veličine čije je umnožak konstantan. Npr. ako je neki resurs podijeljen na više ljudi tada svaki čovjek dobije manje. Dakle broj ljudi je obrnuto razmjeran količini hrane koju će svaki od njih dobiti uz pretpostavku da je ukupna količina za podijeliti ista. Zadatke s takvim veličinama rješavamo tako da postavimo taj uvjet da je umnožak isti u dva slučaja koja usporedjujemo i iz tog odnosa dobijemo onu veličinu koja se traži.

Udjeli i smjese

Udio je omjer neke određene tvari (supstance) u smjesi više tvari (supstanci). Npr. ako Marko, Ivana i Zoltan stave u zajedničku kasu redom 5, 7 i 8 kuna, tada je Markov udio 5 od 20, tj. jedna četvrtina. Ako pomiješamo 4 žlice soli s 96 žlica brašna tada će sol po volumenu biti 4 u 100 volumnih dijelova. Udjeli se mogu dodavati.

Primjer. Ako pomiješamo 5 litara 10 postotne otopine aktivne tvari i 4 litre 5 postotne otopine aktivne tvari, tada imamo ukupno 9 litara tekućine, u kojoj je 0.5 litara aktivne tvari iz prvog udjela i 0.2 litre aktivne tvari iz drugog dijela, dakle 0.7 litara aktivne tvari na 9 litara tekućine, što je 0.7/9 puta 100 posto ili $70/9 \cong 7.77$%.

Općenito ako imamo $k$ komponenti u količinama $m_1, m_2,\ldots, m_k$ i ako je udio neke tvari A u njima redom $u_1,u_2,\ldots,u_k$, tada je ukupna količina smjese $m_1+m_2+\ldots + m_k$, a količina tvari A je $u_1\cdot m_1 + u_2 \cdot m_2 +\ldots+ u_k\cdot m_k$, dakle njen udio u smjesi je

$$u = \frac{u_1\cdot m_1 + u_2 \cdot m_2 +\ldots+ u_k\cdot m_k}{m_1+m_2+\ldots + m_k}$$

category: zadarmat1