Zoran Skoda relacija ekvivalencije

Definicije

Binarna relacija $R$ na skupu $S$ je bilo koji podskup Kartezijevog umnoška $R\subset S\times S$, odnosno neki skup uređenih parova elemenata iz $S$. Kažemo da je $a$ u relaciji $S$ s $b$ ako je $(a,b)\in S$. Alternativno, pišemo i $a R b$.

Relacija ekvivalencije na skupu $S$ je binarna relacija $R$ na $S$ koja ima slijedeća tri svojstva

• (tranzitivnost) ako su $a,b,c\in S$ takvi da je $a R b$ i $b R c$ tada je i $a R c$

• (refleksivnost) $a R a$ za svaki $a\in S$

• (simetričnost) ako $a R b$ tada i $b R a$

Terminološka primjedba

Približni hrvatski prijevod strane riječi ekvivalencija je istovjetnost, no u matematici se ne koristi da ne bi došlo do neželjene zamjene s istošću/jednakošću. Svaka dva ista (jednaka) objekta su ekvivalentna po refleksivnosti, ali obrat ne vrijedi: jednakost je stroža od ekvivalencije, no svojstva ekvivalencije ukazuju na to da je možemo promatrati kao poopćenu jednakost, gdje elementi koji su u relaciji ekvivalentnosti dijele neko svojstvo (istovjetni su po nekom kriteriju, ali nisu u potpunosti isti (jednaki)).

Primjeri

U geometriji su poznate relacije ekvivalencije “biti s iste strane pravca $p$” (to je relacija na skupu svih točaka u ravnine koje ne pripadaju pravcu $p$), relacija sukladnosti na skupu trokuta ravnine, relacija sličnosti trokuta itd.

Razredi ekvivalencije

Ako je $\sim$ neka relacija ekvivalencije na skupu $S$ tada je skup $S$ podijeljen na disjunktnu uniju podskupova koje zovemo razredi ekvivalencije s obzirom na relaciju $\sim$. Razred ekvivalencije (ili klasa ekvivalencije) relacije $\sim$ je svaki podskup $K\subset S$ sa svojstvom da su svaka dva njegova elementa ekvivalentna (tj. $a \sim b$ za sve $a,b\in K$) i koji je maksimalan skup s tim svojstvom tj. nije pravi podskup ni jednog drugog skupa s tim svojstvom. Ako je $\sim$ relacija ekvivalencije tada su svaka dva razreda ekvivalencije $K$ i $L$ međusobno jednaki ili disjunktni (njihov presjek je prazan skup). Svaki element je u nekoj klasi, dakle $S$ se razlaže na particiju disjunktnim podskupovima, kao što je spomenuto gore. Ako je $a\in S$ bilo koji element tada je skup svih elemenata $b\in S$ takvih da $a\sim b$ neka klasa ekvivalencije, koju označavamao $[a]_\sim$ ili, kad znamo o kojoj relaciji ekvivalencije je riječ, naprosto $[a]$. Klase ekvivalencije $[a]$ i $[b]$ gdje je $a\neq b$ mogu biti ili iste ili disjunktne (tj. $[a]\cap [b] = \emptyset$). Iste su onda i samo onda ako su $a$ i $b$ u istoj klasi, tj. $a\sim b$.

Skup svih razreda ekvivalencije zadane relacije ekivalencije $\sim$ na $S$ označava se $S/\sim$ i zove kvocijentni skup s obzirom na relaciju $\sim$.

category: zadarmat1, zadarmat2, zadarmat4