Zoran Skoda
relacija ekvivalencije

Binarna relacija RR na skupu SS je bilo koji podskup Kartezijevog podskupa RS×SR\subset S\times S, odnosno neki skup uređenih parova elemenata iz SS. Kažemo da je aa u relaciji SS s bb ako je (a,b)S(a,b)\in S. Alternativno, pišemo i aRba R b.

Relacija ekvivalencije na skupu SS je binarna relacija RR na SS koja ima slijedeća tri svojstva

  • (tranzitivnost) ako su a,b,cSa,b,c\in S takvi da je aRba R b i bRcb R c tada je i aRca R c

  • (refleksivnost) aRaa R a za svaki aSa\in S

  • (simetričnost) ako aRba R b tada i bRab R a

U geometriji su poznate relacije ekvivalencije “biti s iste strane pravca pp” (to je relacija na skupu svih točaka u ravnine koje ne pripadaju pravcu pp), relacija sukladnosti na skupu trokuta ravnine, relacija sličnosti trokuta itd.

Ako je \sim neka relacija ekvivalencije na skupu SS tada je skup SS podijeljen na disjunktnu uniju podskupova koje zovemo razredi ekvivalencije s obzirom na relaciju \sim. Razred ekvivalencije (ili klasa ekvivalencije) relacije \sim je svaki podskup KSK\subset S sa svojstvom da su svaka dva njegova elementa ekvivalentna (tj. aba \sim b za sve a,bKa,b\in K) i koji je maksimalan skup s tim svojstvom tj. nije pravi podskup ni jednog drugog skupa s tim svojstvom. Ako je \sim relacija ekvivalencije tada su svaka dva razreda ekvivalencije KK i LL međusobno jednaki ili disjunktni (njihov presjek je prazan skup). Svaki element je u nekoj klasi, dakle SS se razlaže na particiju disjunktnim podskupovima, kao što je spomenuto gore. Ako je aSa\in S bilo koji element tada je skup svih elemenata bSb\in S takvih da aba\sim b neka klasa ekvivalencije, koju označavamao [a] [a]_\sim ili, kad znamo o kojoj relaciji ekvivalencije je riječ, naprosto [a][a]. Klase ekvivalencije [a][a] i [b][b] gdje je aba\neq b mogu biti ili iste ili disjunktne (tj. [a][b]=[a]\cap [b] = \emptyset). Iste su onda i samo onda ako su aa i bb u istoj klasi, tj. aba\sim b.

Skup svih razreda ekvivalencije zadane relacije ekivalencije \sim na SS označava se S/S/\sim.

category: zadarmat2, zadarmat4

Last revised on September 8, 2017 at 08:35:17. See the history of this page for a list of all contributions to it.