Zoran Skoda
sheaf on base

Neka je XX topološki prostor i BB baza topologije, tj. svaki otvoreni skup u XX je unija neke familije elemenata iz BB.

1A) Pretpostavimo i da je presjek svaka dva elementa baze takodjer u bazi. Promotrimo podkategoriju BOuv XB'\subset Ouv_X koja je puna potkategorija od Ouv XOuv_X čiji su objekti samo oni otvoreni skupovi koji su u BB. Neka je zadan funktor F:(B) opSetF: (B')^{op}\to Set tj. korespodencija lkoja svakom elementu UU u bazi pridružuje skup F(U)F(U) i svakoj inkluziji UVU\to V restrikciju F(V)F(U)F(V)\to F(U), pri cemu za svaku familiju {U α} α\{U_\alpha\}_\alpha elemenata u bazi, TAKVOJ DA JE NJENA UNIJA UU takodjer element baze vrijedi snopovski uvjet, tj. F(U)F(U) je ujednačitelj kao u definiciji snopa. Drugim riječima, prerezi imaju jedinstveno ljepljenje ako se podudaraju na svim duplim presjecima, pri čemu gledamo samo taj uvjet na bazi. Dokaži da tada postoji jedinstveno prosirenje funktora F:(B) opSetF:(B')^{op}\to Set do snopa F˜:Ouv X opSet\tilde{F}:Ouv_X^{op}\to Set na XX.

1B) U 1A) mozemo oslabiti uvjet da je baza zatvorena na presjeke, no tada moramo gledati lokalniju varijantu (tako da uvjet nije strogo slabiji). Kako je presjek dva elementa baze otvoren, on je unija nekih elemenata baze. Dakle, umjesto ljepljenja kad se nesto slaže na dvostrukim presjecima, možemo tražiti slijedeći uvjet:

  • ako je UU u bazi unija familije {U α} α\{U_\alpha\}_\alpha elemenata baze BB tada za svaku familiju {s αF(U α)} α\{s_\alpha\in F(U_\alpha)\}_\alpha prereza takvih da za svaki par α,β\alpha,\beta i za svaki element VBV\in B takav da je VU αU βV\subset U_\alpha\cap U_\beta vrijedi s α| V=s β| Vs_\alpha|_V = s_\beta|_V, tada postoji jedinstveni sF(U)s\in F(U) takav da s| U α=s αs|_{U_\alpha} = s_\alpha.

Tada postoji jedinstveno proširenje FF na F˜\tilde{F} koji je snop na XX.

Created on February 21, 2013 at 20:44:09. See the history of this page for a list of all contributions to it.